LÄ°NEER MODELLER

59
Şimdi b) şıkk ın ın ispat ına geçelim.
R", Euclide uzay ında y- Xfil y ı minimum yapan y = xfi*,(ş* ER")
vektörü y nin [X] üzerine dik izdü şümüdür. {a*: = .9,0 E RP}
kümesindeki vektörler aras ında minimum normlu fi* vektörünü bulal ım. RP
deki her a vektörü,
a =
, E[X1 , ü E[Xl i
biçiminde yaz ılabilir. Xc7 = O ve Xa = Xa d ır. Ayrıca,
+Ili .11g112
d ır. Buna göre, xfi* = y e şitli ğini sağlayan bira' vektörü için,
ve
2 - 2 ■• 2
l ig 2 .= -?" )1.
= xfi* olmak üzere en küçük normlu /3* vektörü [X . ] alt uzaymm
eleman] olmal ıd ır. Bu vektörü Q ile gösterelim. Xfi= j;,'fie[r], yani ;(3° , X
matrisi ııiıı sat ır vektörlerinin gerdi ği uzaydad ır. Di ğer taraftan,
X + y = ( limo(X'X +82 1p )-1 X'y
= lim (X'X + 82 1 „)-1 X' 5)
(5—>0
tim (X'X +821„)-1 xx;6.
(5—>0
ve Teorem 2.3.1 den,
y =1>lx, 1/3
d ır. Ancak [X'] = [ X'x] yani R(X') = R(X'X) olmas ı sebebiyle Q E[rx]
d ır. O zaman,
X + .}' =
d ır. lly - XfiI y ı minimum yapan minimum normlu fi vektörü
fl= X 4'y
d ır. Böylece teorem ispatlanm ışt ır.