Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 7. FILTRY CYFROWE 107• ograniczone pasmo częstotliwości do połowy częstotliwości próbkowania.7.1 Transformata ZTransformatę Z możemy traktować jako odpowiednik transformaty Laplace’a,znanej z układów analogowych. Definiuje się ją następująco:X(z) =∞∑n=−∞x(n)z −n , (7.1)gdzie z jest zmienną zespoloną, x spróbkowanym sygnałem. Transformata istniejedla tych z, dla których szereg jest zbieżny.Przykład.Mamy sygnał cyfrowy o wartościach kolejnych próbek równych: x(0) = 0, 2;x(1) = 0, 6; x(2) = 0, 3.Transformatą Z tego sygnału jest: X(z) = 0, 2 + 0, 6z −1 + 0, 3z −2 .Z powyższego przykładu widzimy, że z transformaty możemy łatwo odtworzyćsygnał, bowiem współczynnik występujący przed n-tą potęgą zmiennejzespolonej jest równy próbce sygnału w chwili n.Przykład.Dana jest funkcja eksponencjalna, zanikająca w czasie: x(n) = e −an , n =0, 1, 2, . . .Jej transformatą jest:Z { e −an} ∞∑∞∑= e −an z −n (= e −a z −1) n 1 =1 − e −a z −1 ,n=0n=0przy czym ∣ ∣ e −a z −1∣ ∣ < 1 ⇐⇒ |z| > |e −a | (na podstawie twierdzenia o zbieżnościszeregu geometrycznego).Zadanie.Oblicz transformatę Z impulsu δ(n) i skoku jednostkowego 1(n).Podobnie jak w przypadku transformaty Laplace’a, transformaty wielu popularnychsygnałów możemy zebrać w formie tablicy (patrz tabela 7.1).Obszar zbieżności jest istotny, ponieważ istnieją transformaty pozornie identyczneróżniące się tylko obszarem zbieżności.