Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 7. FILTRY CYFROWE 1107.2 Opis liniowych układów dyskretnychLiniowość układu dyskretnego możemy opisać tak samo jak układu analogowego,uwzględniając jednak to, że sygnał jest ciągiem wartości (próbek):x 1 (n) → y 1 (n) i x 2 (n) → y 2 (n) to ax 1 (n) + bx 2 (n) → ay 1 (n) + by 2 (n),(7.4)gdzie x(n) jest sygnałem wejściowym, y(n) sygnałem wyjściowym, a i b dowolnymistałymi.Bardzo ważną rolę w układach analogowych ogrywa impuls Diraca, któregocyfrowym odpowiednikiem jest delta Kroneckera:{δ(n) =1, n = 00 n ≠ 0 . (7.5)Wykorzystując powyższe, każdą próbkę dowolnego sygnału x(n) możemy przedstawićjako sumę przesuniętych impulsów jednostkowych pomnożonych przezwartości próbek tego sygnału:x(n) =∞∑k=−∞x(k)δ(n − k). (7.6)Jeśli układ jest niezmienny w czasie, a takimi zajmujemy się w tym rozdziale,na przesunięte w czasie pobudzenie odpowiada taką samą lecz przesuniętą wczasie odpowiedzią:x(n) → y(n), x(n − k) → y(n − k). (7.7)W szczególności na pobudzenie deltą Kroneckera mamy:δ(n − k) → h(n − k). (7.8)Zatem powiązanie sygnałów: wejściowego x(n) i wyjściowego y(n) jest następujące:x(n) =∞∑k=−∞x(k)δ(n − k) → y(n) =∞∑k=−∞x(k)h(n − k) = x(n) ⊗ h(n). (7.9)Operacja ta jest już nam znana - jest to splot sygnałów x(n) i h(n). Podstawiającn − k = m:∞∑y(n) = h(m)x(n − m) = h(n) ⊗ x(n). (7.10)m=−∞