Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 37są przestrzeniami liniowymi z iloczynem skalarnych, są zupełne i posiadają bazęortonormalną. Pokazaliśmy tam, że każdy sygnał z takiej przestrzeni można zapisaćjako sumę ortonormalnych sygnałów wzorcowych - jest to tzw. uogólnionyszereg Fouriera, przy czym współczynniki tego rozwinięcia są iloczynami skalarnymisygnału i odpowiedniego sygnału bazowego. Ten przepis jest wynikiemuogólnienia, możliwego dzięki rozwojowi jaki dokonał się w tej dziedzinie odczasów Jean Baptiste Josepha Fouriera, który jako pierwszy zaproponował, byużyć rodziny funkcji trygonometrycznych do aproksymacji innych funkcji.Zajmiemy się teraz tym szczególnym przypadkiem, który interesował Fouriera.Interesować nas więc będzie zbiór L 2 T 0sygnałów okresowych o okresie T 0 .Ta przestrzeń sygnałów, z iloczynem skalarnym określonym jako:< x, y >= 1 Ttˆ0+Tt 0dtx(t)y(t) (2.9)jest przestrzenią Hilberta. Zacznimy od przypadku, gdy zarówno aproksymowanefunkcje jak też funkcje bazowe aproksymacji są rzeczywiste. Niech {f k }będzie rodziną takich funkcji, które spełniają warunek ortogonalności z iloczynemskalarnym (2.9), czyli dla i ≠ j spełniają relację:tˆ0+Tt 0f i (t) f j (t) = 0Nie będziemy wymagać, by te funkcje były unormowane do ‖f i ‖ = 1. Stosującogólną metodę postępiwania postulujemy rozwinięcie:x(t) =∞∑k=−∞c k f k (t). (2.10)Mnożąc skalarnie powyższe równanie przez f n (t) dostajemy wyrażenie nawspółczynniki rozwinięcia:c n =t 0+T ´t 0t 0+T´t 0x(t)f n (t)dtf n (t)f n (t). (2.11)