Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 3. TRANSFORMATA FOURIERA 538. Iloczyn sygnałów: z(t) = x(t)y(t) ←→ Z(jω) = X(jω) ⊗ Y (jω)Widmo iloczynu sygnałów jest równe splotowi widm. Łącznie z poprzednimtwierdzeniem pokazuje dualność czasu i częstotliwości: iloczyn w jednejdziedzinie daje splot w drugiej.3.3 Transformaty sygnałów dystrybucyjnychDo analizy procesów próbkowania sygnału potrzebna będzie jeszcze znajomośćtransformat Fouriera kilku sygnałów dystrybucyjnych, takich jak delta Diracaczy dystrybucja grzebieniowa. Transformaty Fouriera tych obiektów będą transformatamiw sensie granicznym. Punktem wyjścia do ich wyznaczenia jest znalezienietransformaty sygnału gaussowskiego. Bezpośrednim rachunkiem możnawykazać następującą relację:( )1√ exp − t22πα2 2α 2 ←→ exp(− α2 ω 2 )(3.4)2Pokazaliśmy poprzednio, że dystrybucja delta Diraca może być uważana zagranicę ciągu impulsów o amplitudzie dążącej do nieskończoności i szerokościzmierzającej do zera przy zachowaniu jednostkowego pola pod impulsem. Impulsemtego rodzaju jest impuls opisany przez lewą stronie relacji (3.4). Możemywięc napisać, żelimα→∞( )1√ exp − t22πα2 2α 2 = δ(t).Tak więc transformatą impulsu Diraca jest granica prawej strony relacji (3.4),która dla dowolnego ustalonego ω wynosi 1. To daje następującą relację:δ(t) ←→ 1 (3.5)Ta relacja pokazuje, że widmo impulsu Diraca zawiera składowe o wszystkichczęstotliwościach i wszystkie one wnoszą taki sam wkład do amplitudy.Na podstawie twierdzenia o symetrii dostajemy również transformatę Fourierasygnału stałego:1 ←→ 2πδ(ω)Łącząc tą relację z twierdzeniem o modulacji zespolonej, dostajemye jω0t ←→ 2πδ(ω − ω 0 ) (3.6)