Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE 19• ten przepis pozwala określić działanie dystrybucji na dowolną funkcjępróbną - tak jest w istocie;• funkcjonał jest liniowy - wynika to z liniowości przestrzeni D(Ω).Pozostaje teraz pokazać, że nie istnieje (klasyczna) funkcja, która poprzez formułęcałkową ze zwykłą funkcją określa wartości dystrybucji zgodnie z wyjściowądefinicja. Gdyby tak było, to dla każdej funkcji próbnej mielibyśmywarunek:ˆdtδ(t)ϕ(t) = ϕ(0) (1.3)ΩBy taka relacja mogła zachodzić dla wszystkich funkcji próbnych, to musiałybybyć spełnione dwa sprzeczne ze sobą wymagania:• wartość funkcji δ(t) musiałaby być równa 0 dla t̸=0 (by nie dopuścić dowpływu innch wartości funkcji ϕ na wynik) - czyli nośnik funkcji δ(t) jestzbiorem miary zero• całka po nośniku funkcji δ(t) musiałaby dać skończony wynik.Tych wymagań nie można zrealizować traktując δ(t) jako zwykłą funkcję. Takafunkcja musiałaby mieć wszędzie (z wyjątkiem zera) wartość zero, zaś w t = 0dążyć do nieskończoności. Widzimy, że impuls Diraca to model nieskończeniewąskiego sygnału o nieskończenie dużej amplitudzie i polu pod wykresem równym1. Takiego impulsu nie można zrealizować jako zwykłą funkcję, ale możebyć on rozumiany jako granica ciągu zwykłych funkcji δ(α, t) z parametrem∞´α > 0, takim że dla każdego α mamy: dtδ(t, α) = 1 . Wtedy:−∞lim δ(t, α) = δ(t).α→0Takich ciągów aproksymujących dystrybujcję δ(t) może być wiele - pokażemyto na przykładzie ciągu w którym kolejne funkcje aproksymujące to impulsyprostokątne o rosnącej amplitudzie i malejącej szerokości. Elementy tego ciągudefiniujemu jako: δ(t, α) = 1 αΠ(αt) - czyli impulsy o szerokości α i amplitudzie1α. Możemy sprawdzić, że spełniony jest warunek jednostkowego pola impulsu.Pokażemy, że granicą tak określonego ciągu zwykłych funkcji jest dystrybucjaδ(t). By tego dokonać powinniśmy pokazać, dla każdej funkcji próbnej ϕ ciągwartości obliczonych jako całki z iloczynów tej funkcji z funkcjami - elementami