Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 3. TRANSFORMATA FOURIERA 52Na podstawie omawianego twierdzenia możemy bez rachunków wyznaczyćtransformatę funkcji sinc(t). Jak to zrobić? Powinniśmy najpierw zrozumiećco oznacza zapis Π(t/T ) ←→ T sinc(ωT/2). Należy go czytać tak:transformata impulsu prostokątnego zależnego od zmiennej t podzielonejprzez pewną skalę jest równy iloczynowi tej skali i funkcji sinc od argumentudualnego względem t pomnożonemu przez połowę tej skali. Terazzmieniam nazwy zmiennej t na ω (a zmiennej ω na t) , oraz zmieniamnazwę skali; nie nazywam jej dalej T, tylko 2ω 0 .Po tych zmianach stwierdzenie: Π(t/T ) ←→ T sinc(ωT/2)jest równoważne zapisowi: Π(ω/(2ω 0 ) ←→ 2ω 0 sinc(ω 0 t). Teraz stosujemytwierdzenie o symetrii i dostajemy: 2ω 0 sinc(ω 0 t)←→ 2πΠ(−ω/(2ω 0 ) =2πΠ(ω/(2ω 0 ). Wynik ten można też zapisać:2ω 0 sinc(ω 0 t) ←→ 2πΠ(ω/2ω 0 ). (3.3)Formuła (3.3) jest też charakterystyką sygnału sinc - jest to idealny sygnałdolnopasmowy; zawiera tylko składowe o pulsacjach |ω| < ω 0 , wewnątrztego przedziału gęstość widmowa jest stała.3. Skalowanie: x(at) ←→ 1 a X( ω a )Przeskalowanie sygnału w czasie powoduje odwrotne przeskalowanie jegowidma; przy czym zmiana w widmie to dwa efekty: zwężenie (gdy a < 1)i jednoczesne proporcjonalne zwiększenie gęstości widmowej4. Przesunięcie w czasie: x(t − t 0 ) ←→ exp(−jωt 0 )X(jω)5. Przesunięcie w częstotliwości (modulacja zespolona): exp(±jω 0 t)x(t) ←→X(j(ω ∓ ω 0 ))Przemnożenie sygnału x(t) przez exp(−jω 0 t) przesuwa jego widmo w pulsacjio ω 0 w porównaniu do wyjściowego, niezmodulowanego sygnału6. Modulacja rzeczywista(a) cos(ω 0 t)x(t) ←→ 1 2 (X(ω − ω 0 + X(ω + ω 0 )(b) sin(ω 0 t)x(t) ←→ 1 2j (X(ω − ω 0 − X(ω + ω 0 )Wynika z poprzedniego tw. oraz liniowości.7. Splot: z(t) = x(t) ⊗ y(t) ←→ Z(jω) = X(jω)Y (jω)Bardzo ważne twierdzenie, zwłaszcza dla opisu dzałania filtrów liniowychoraz próbkowania sygnałów analogowych .