Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 33⎡z 3 = √ 1 ⎣ −1 ⎤20 ⎦.1Kwestia istnienia baz oraz baz ortogonalnych w przestrzeniach skończenie wymiarowychwydaje się dość prosta. Poważniejszy problem to bazy w przestrzeniachnieskończenie wymiarowych. Gdy w przestrzeni sygnałów V mamy nieskończony(przeliczalny) zbiór liniowo niezależnych sygnałów X = {x k , k ∈ K},(czyli takich, dla których znikanie kombinacji liniowej jej elementów pociąga zasobą znikanie wszystkich współczynników tej kombinacji), to mówimy, że X jestnieskończoną bazą wyróżnioną w tej przestrzeni.Taki nieskończony zbiór X liniowo niezależnych sygnałów należących doprzestrzeni Hilberta V sygnałów nazywamy bazą ortogonalną w V , jeżeli sygnałyz X są ortogonalne oraz jeżeli w przestrzeni V nie ma żadnego niezerowegosygnału, który nie należy do X i jest ortogonalny do wszystkich elementów zX. Nie każda przestrzeń Hilberta dopuszcza istnienie baz ortogonalnych. Przestrzeniew których to jest możliwe nazywają się ośrodkowymi przestrzeniamiHilberta.2.3 Uogólniony szereg FourieraGdy przestrzeń sygnałów V jest ośrodkową przestrzenią Hilberta z bazą ortonormalnąX={x k ∈ K}, to bardzo łatwo możemy wyznaczyć reprezentacjędowolnego sygnału x z V za pomocą sygnałów wzorcowych z X. To, że X jestbazą w V oznacza, że dowolny sygnał x z V możemy zapisać jako:x = ∑ k∈Ka k x k (2.2)Równość taką należy rozumieć jako równość w sensie normy, co oznacza że‖x − ∑ k∈Ka k x k ‖ = 0Szereg 2.2 nazywamy uogólnionym szeregiem Fouriera, a liczby a k współczynnikamiFouriera tego szereregu. Aby je wyznaczyć, korzystamy z faktu, że wektory x ksą ortonormalne; mnożąc skalarnie równanie 2.2 przez wektor x n dostajemy:x · x n = ∑ a k x k · x n = ∑ a k δ kn = a n , (2.3)k∈Kk∈K