Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 31Jeżeli iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest równy zero, to mówimy,że są one ortogonalne (czyli kąt między nimi wynosi π/2, a więc są względemsiebie prostopadłe).W pierwszj części rozdziału dyskutowaliśmy problem reprezentacji sygnałui związany z nim problem wyboru sygnałów wzorcowych. Matematycznym odpowiednikiemsygnałów wzorcowych są tzw. wektory bazowe w przestrzeniachunitarnych lub przestrzeniach Hilberta będących zbiorami sygnałów. Aby wyjaśnićczym jest baza w przestrzni liniowej należy najpierw określić pojęcie liniowejniezależności sygnałów. Rozważny zbiór X N = {x i (t), i = 1, 2, ..., N}sygnałów przestrzeni liniowej V . Każdy sygnał zbudowany według przepisux(t) = ∑ a i x i (t), gdzie a i - liczby (współczynniki kombinacji) nazywamy kombinacjąliniową sygnałów x i z X N . Mówimy, że zbiór X N sygnałów jest liniowoniezależny, jeżeli zerowanie się kombinacji jest możliwe tylko wtedy, gdywszystkie współczynniki kombinacji są zerami. Rzeczywiście, gdyby kombinacjasię zerowała mimo tego, że nie wszystkie jej współczynniki były zerami, to byoznaczało, że można wyrazić któryś z wektorów poprzez pozostałe.Jeżeli w przestrzeni V każdy układ liniowo niezależnych sygnałów zawieramaksymalnie N sygnałów, to przestrzeń nazywamy N-wymiarową. Wtedy dowolnyukład N liniowo niezależnych sygnałów nazywamy bazą przestrzeni V .Każdy taki układ sygnałów może zostać wybrany jako wzorcowy układ sygnałów.Mimo że bazą przestrzeni liniowej może być każdy maksymalny układ liniowoniezależnych sygnałów, to w praktyce o wiele wygodniej jest używać pewnychspecjalnych baz, które oprócz tego, że składają się z sygnałów liniowo niezależnych,to dodatkowo spełniają warunek ortogonalności. Oznacza on, że dladwóch dowolnych sygnałów z X N każde dwa różne wektory bazowe są do siebieprostopadłe, czyli jeżeli x i oraz x j ∈ X N oraz (i ≠ j) ⇒< x i , x j> = 0. Takiebazy nazywamy bazami ortogonalnymi.Jeżeli ponadto normy wszystkich wektorów bazowych są równe 1, to takąbazę nazywamy bazą ortonormalną. Niech X = x i , i = 1, 2, ...N będzie takąbazą. Wtedy, dowolny wektor przestrzeni można zapisać jako rozwinięcie w∑bazie X: g = N ∑a k x k, h = N b k x k . Obliczając iloczyn skalarny tych wektorówdostajemyk=1k=1N∑ N∑N∑g · h = a i b j ∗ x i · x j = a i b ∗ i = a · b. (2.1)i=1 j=1Wynik ten, to treść twierdzenia Parsevala, które mówi, że iloczyn skalarnydwóch sygnałów jest równy iloczynowi skalarnemu współczynników rezwinięciai=1