Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 6. FILTRY ANALOGOWE 81spoloną X(s) zgodnie ze wzorem:L[x(t)] = X(s) =ˆ ∞−∞x(t)e −st dt.W naszych rozważaniach zmienna t jest zmienną czasową, sygnał x(t) jest przyczynowy,to znaczy x(t) = 0 dla t < 0. Dla takich sygnałów określa się jednostronnątransformatę Laplace’a:L[x(t)] = X(s) =ˆ ∞0x(t)e −st dt. (6.1)Argument s jest argumentem zespolonym w postaci s = σ + jω, w którym ωoznacza pulsację.Między transformatą Laplace’a i Fouriera istnieje ścisły związek. Dla s = jωotrzymujemy jednostronną transformatę Fouriera:X(jω) =ˆ ∞0x(t)e −jωt dt. (6.2)Jednostronne przekształcenie Laplace’a posiada wszystkie podstawowe właściwościjednostronnego przekształcenia Fouriera.Przykład.Obliczyć transformatę Laplace’a funkcji:⎧⎪⎨ 0, t < 0x(t) = 1/2, t = 0⎪⎩e −t , t > 0Rozwiązanie:∞L[x(t)] =´ 0e −t e −st dt = − e−(1+s)t1+s∣ ∞ = 11+s − lim t→∞ e−(1+s)t1+st=0lim t→∞e −(1+s)t1+s= 0 dla Re(s) > −1Jeśli część rzeczywista zmiennej s jest większa od -1 transformata Laplace’aistnieje i wynosi: L[x(t)] = 11+s .Zadanie.Oblicz transformatę Laplace’a funkcji skoku jednostkowego:⎧⎪⎨ 0, t < 0x(t) = 1/2, t = 0⎪⎩1, t > 0