Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 4. PRÓBKOWANIE SYGNAŁÓW 70wiemy, że w pewnej bazie {ψ i, , i = 1, . . . 100}, ma on tylko 2 niezerowe składoweodpowiadające pierwszemu i piątemu wzorcowi, np. .x = 2ψ 1 + 3ψ 5Teraz, by określić pomiar musimy wybrać wzorce sygnałów pomiarowychφ i , i = 1...100. Oczywiście, możemy i tutaj jako wzorce wybrać wektory bazy,w których nasz sygnał jest rzadki. Jeżli wykonamy pełnego pomiaru, to sygnałodzyskamy, bo widzimy, że dokonując pomiaru w bazie {ψ} dla sygnału ogólnej100 ∑postaci: a k ψ k mierząc dla dowolnego i mamy:k=1y i = ψi T x = 100 ∑ψ i a k ψ k = a i ; lub macierzowo y = I x.k=1Tak więc przy takim wyborze baz macierz pomiaru, to macierz jednostkowa.Jakie to ma kosekwencje ? Najważniejsza z nich, to ta, że nie będziemy mogliw tym wypadku dokonać redukcji ilości pomiarów. Powodem tego jest to, zeta macierz wiąże wynik pojedyńczego pomiaru y i tylko z jedną współrzędną sygnałua i . Gdybyśmy w naszej zredukowanej macierzy pomiarów nie uwzględniliskładowych pierwszej i piątej bazy, to w wektorze pomiarowym y nie będzieżadnej zależności od składowych a 1 ,a 5 , a więc nie będzie można takiego sygnałuzrekonstrować. Powodem tego jest korelacja między bazą {ψ i } w którejmamy rzadki sygnał (baza w której sygnał rejestrujemy) a bazą {φ k }używanądo pomiarów tutaj te bazy są po prostu identyczne. Dyskusja powyżej mówi,że:1. By móc zredukować ilości pomiarów powinniśmy do rejestracji i reprezenacjisygnałów używać różnych baz,2. Bazy te powinny mieć jak najmniejszą korealcję; sygnały bazy {ψ} powinnymieć w bazie {φ} możliwie „gęstą” reprezentację. To będzie znaczyło,że pomiar pojedyńczej składowej jest powiązany z wartościami dużejilości składowych rozwinięcia syganału w bazie {φ}.Wielkością która w sposób ilościowy mierzy taką korelację jest tzw. koherencjabaz. Gdy mamy dwie takie ortonormalne bazy {Ψ j }, {φ k } w N-wymiarowejprzestrzeni sygnałów, to ich koherencją nazywamy:µ(ψ, ψ) = √ Nmax |φ j · ψ k |. (4.9)1≤j,k≤NTak więc µ(ψ, φ) określa maksymalną korelację pomiędzy dowolnymi elementamiobu tych baz. Można dość łatwo pokazać, że µ(ψ, φ) ∈ [1, √ N]. Jest to