Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 4. PRÓBKOWANIE SYGNAŁÓW 71ważna wielkość, bo określa ona niezbędną ilość pomiarów potrzebnych do wiernejrekonstrukcji sygnałów z niepełnej ilości pomiarów - jedno z podstawowychtwierdzeń Compressed Sensing mówi, że gdy mamy sygnał, który jest S-rzadkiw bazie {ψ} i dokonamy na nim m losowych (czyli takich, w których losujemynumery kolejnych sygnałów wzorcowych z bazy {φ} z rozkładu jednorodnego)pomiarów, to o ile jest spełniony warunekm ≥ C µ 2 (ψ, φ) S log(N), (4.10)gdzie C to pewna dodatnia wielkość, to rekonstrukcja w oparciu o te pomiaryjest dokładna z prawdopodobieństwem bardzo bliskim jedynki. Własności bazprzenoszą się na własności macierzy pomiaru. Rekonstrukcja sygnału rzadkiegobędzie możliwa, co więcej będzie stabilna względem małych zaburzeń wprocesie pomiaru, gdy macierz pomiaru spełnia tzw. Restricted Isometry Property(RIP). Mówimy, ze macierz A spełnia RIP rzędu S, gdy dla wszystkichS-rzadkich sygnałów działanie tej macierzy jest w bliskie działaniu macierzy ortogonalnej.Oznacza to, dla każdej liczby człkowitej S=1, 2, , ... istnieją stałedodatnie δ S które zapewniają, że w działaniu na wektory S-rzadkie macierzpomiaru nie zmienia bardzo ich długości, tak że prawdziwa jest relacja:(1 − δ S )‖x‖ 2 l2 ≤ ‖Ax‖2 l2 ≤ (1 + δ S)‖x‖ 2 l2ze stałą δ S niezbyt bliską wartości 1.Klasyczny przykladem pary baz o minimalnej koherencji, która daje macierzpomiaru spełniającą warunek RIP jest następująca para baz:• φ to baza położeń (funkcje bazowe toφ k = δ(t − k)), ψ to baza Fourierowska,ψ n (t) = √ 1Nexp(2πint/N)Macierze o takich własnościach można próbować konstruować dla każdego przypadkuoddzielnie; jednak okazuje się, że najprostszy sposób ich uzyskania polegana wzięciu macierzy losowych. Możliwa konstrukcja takiej pary baz to:1. Za {Ψ} bierzemy dowolną ustaloną bazę2. Za {Φ}bierzemy bazę wylosowaną w następujący sposób:(a) losujemy N wektorów N-elementowych z rozkładem jednostkowymna sferze jednostkowej,(b) dokonujemy ortogonalizacji tych wektorów metodą Gramma-Schmidta.