Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 262.2 Własności matematyczne zbiorów sygnałówOmówiony w poprzednim rozdziale przykład przekonuje, że po to, by móc wykonywaćna sygnałach jakiekolwiek operacjie, należy zbiory sygnałów (przestrzeniesygnałów) wyposażyć we własności pozwalając nimi swobodnie manipulować.Chodzi tu o możliwości okreslenia odległości między sygnałami, określenia długościpojedyńczego sygnału, pomiaru kąta między nimi - czyli wyposasażenieje w pewne własności metryczne. Inne potrzebne własności to określenie możliwościdodawania sygnałów, mnożenia sygnału przez liczbę, określenia sygnałówbazowych, poszukiwania reprezentacji sygnału w dla różnych wyborów sygnałówbazowych - jest to grupa okreśkająca algebraiczne własności zbiorów sygnałów.Ostatnią wreszcie grupą własności związana jest z zupełnością zbiorów sygnałów- dotyczy ona kwestii, czy ciągi Cauchy’ego elementów zbioru sygnałów majągranice w tym zbiorze. Przedstawimy teraz wymagania, jakie zazwyczaj stawimyzbiorom sygnałów. Szersze omówienie podstaw algebraicznych włąsnościpotrzebnych do określenia użytecznych klas przestrzeni sygnałów można znaleźćw [16] Choć w większości przypadków sygnałami są funkcje, to będziemy sięstarali wprowadzić potrzebne konstrukcje matematyczne bez specjalnego identyfikowanianatury obiektów będących sygnałami.2.2.1 Własności metryczne przestrzeni sygnałówMinimalne wymagania metryczne w zbiorze sygnałów S spełnimy określającmetrykę, czyli funkcję, która każdej parze x i y sygnałów z S przyporządkowujenieujenmną liczbę rzecztywistą ρ(x, y) o następujących własnościach:• ρ(x, y) = 0⇐⇒ x = y,• ρ(x, y) = ρ(y, x)• ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z)(symetria),(nierówność trójkąta).Przestrzeń sygnałów wyposażoną w metryką nazywamy przestrzenią metryczną.Wielkość ρ(x, y) interpretujemy jako odległość między sygnałami. Mając definicjęmetryki możemy wprowadzić rozmaite pojęcia topologiczne, jak zbiórotwarty, otoczenie, brzeg, granica ciągu oraz granica funkcji. Ważną własnościąprzestrzeni metrycznej jest jej zupełność. Mówimy, że przestrzeń jest zupełna,gdy każdy jej ciąg Cauchy’ego elementów tej przestrzeni (czyli ciąg,dla któregoodległości jego elementów maleją do zera) ma granicę, która jest równieżelenetem tej przestrzeni.