Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 35f k (n) = 1 √Nexp(2πjkn).By sprawdzić, że taka baza jest ortonormalna musimy pokazać, że iloczynskalarny dwóch różnych wektorów tej bazy jest równy 0. Mamy więc:f k·f n = 1 N−1 ∑Nexp( 2πj2πjNmk) exp(−N mn) = 1 M−1 ∑N[exp( 2πjN (k−n)]m = 1 N Sm=0Dla n = k wielkość S w ostatnim wzorze to suma jedynek; dostajemy warunekunormowania wektorów bazowych: ‖f k ‖ = 1. Dla k ≠ n musimy obliczyć S- jest to suma szeregu geometryczny, jej wartość wynosi:m=0S = 1 − qN1 − q , (2.5)gdzie q = exp( 2πjk−nN(k −n)). Dla k ≠ n, oraz k, n < N wielkośćNnie jest liczbącałkowitą, więc wielkość q = exp( 2πjN(k − n)) jest różne od 1, czyli mianownikwzoru (2.5) jest różny od zera. Namiast w liczniku wyrażenie q N = exp( 2πjN (k −n)N)=exp(2πj(k − n)) =1, co oznacza, że S = 0, a to z kolei - że różne wektoryz dyskretnej bazy Fouriera są do siebie prostopadłe.Znajdzmy dyskretną bazę Fouriera dla N = 4. Aby to zrobić należy wyliczyćfazy składowych wektorów poszczególnych według wzoru (2.4).Dla wektora b 0 wszystkie fazy są równe 0, dla wektora b 1 fazy są równe π 2(0, 1, 2, 3),dla wektora b 2 wynoszą one π 2 (0, 2, 4, 6), natomiast wektor b 3 zadają fazyπ2(0, 3, 6, 9). Taki wybór faz daje następujący zestaw ortonormalych wektorówbazowych:b 0 =[ (1 , 0), (1, 0), (1, 0), (1, 0)]/2 = [1, 1, 1, 1]/2 + j [0, 0, 0, 0]/2b=[ (1, 0), (0, 1), (-1,0), (0, -1)]/2 = [1, 0, -1, 0]/2 + j [0, 1, 0, -1]/2b 2 =[ (1, 0), (-1,0), ( 1,0), (-1,0)]/2 = [1, -1, 1, -1]/2 + j [0, 0, 0, 0]/2b 3 =[ (1, 0), (0,-1), (-1,0), (0, 1)]/2 = [1, 0, -1, 0]/2 + j [0, -1, 0, 1]/2Porównując dyskretną bazę Fouriera z bazą kanoniczną {e i }zauważamy, żebazy te zupełnie inaczej opisują dane. Gdyby na przykład nasze dane opisywałypróbki dzwięku poprzez podanie natężenia dźwięku w kolejnych chwilachnumerowanych od 1 do N, to znaczenie k-tego wektora bazowego e k jest następujące:w chwili k był dzwięk; jegonatężenie można odczytać jako współczynnikmnożący k-ty wektor rozkładu sygnału na składowe w bazie kanonicznej {e k }.Natomiast dyskretna baza Fouriera (i inne bazy ortonormalne, które przedstawimyza chwilę) opisuje te dane dzwiękowe inaczej - rozkłada obserwowanedane dźwiękowe na różne przebiegi, różniące się sposobem zmienności. Patrząc