Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 6. FILTRY ANALOGOWE 84Każdy układ liniowy, w tym filtry, możemy opisać równaniem różniczkowym:N∑n=0a nd n y(t)dt n =M∑m=0b md m x(t)dt m . (6.9)Korzystając z właściwości pochodnej transformacji Fouriera zastosowanej doobu stron powyższego równania otrzymujemy:N∑a n (jω) n Y (jω) =n=0M∑b m (jω) m X(jω), (6.10)m=0skąd można wyliczyć transmitancję widmową:H(jω) = Y (jω)X(jω) = b M(jω) M + b M−1 (jω) M−1 + · · · b 1 (jω) 1 + b 0a N (jω) N + a N−1 (jω) N−1 + · · · a 1 (jω) 1 + a 0∑ Mm=0=b m(jω) m∑ Nn=0 a n(jω) . (6.11)nW liczniku i mianowniku powyższego równania widzimy wielomiany zmiennejzespolonej (jω) o współczynnikach a n i b m . Wielomiany można zapisać w postaciiloczynowej:H(jω) = Y (jω)X(jω) = b M(jω − z 1 )(jω − z 2 ) · · · (jω − z M )a N (jω − p 1 )(jω − p 2 ) · · · (jω − p N )= b ∏ MM m=1 (jω − z m)∏ Na N n=1 (jω − p n) , (6.12)gdzie z 1 . . . z m to (zespolone) miejsca zerowe - zera transmitancji, a 1 . . . a n to(zespolone) bieguny - bieguny transmitancji.6.3 Transmitancja Laplace’aDzięki rachunkowi operatorowemu obliczenie odpowiedzi układu na zadany sygnałwejściowy jest znacznie prostsze niż obliczenia w dziedzinie czasu. Oczywiścienie zawsze znalezienie odpowiedniej transformaty musi być proste, jednakkorzystanie z tabeli 6.1 umożliwia odpowiednie dopasowanie funkcji do już wcześniejwyznaczonych transformat.