Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE 20ciągu aproksymacyjnego zmierzają do wartości dystrybucji δ dla tej funkcji,czyli do ϕ(0). W naszym przykładzie dla ustalonego α mamy:ˆ∞−∞dxδ(t, α)ϕ(t) = 1 αˆα/2−α/2ϕ(t)dt.Dla małych α możemy zaaproksymować funkcję próbną jej rozwinięciem wszereg MacLaurine’a:ϕ(t) = ϕ(0) + ϕ ′ (0)t + ϕ ′′ (0) t 2 + O(t 3 ).Po wstawieniu tego rozwinięcia do całki dostajemy następujące wyrażeniena jej przybliżoną wartość:ˆ∞−∞dxδ(t, α)ϕ(t) = 1 α[[ϕ(0)α + 1]24 ϕ′′ (0)α 3 + O(α 5 )= ϕ(0) + 124 ϕ′′ (0)α 2 + O(α 4 )Oznacza to, że lim α→0 δ(t, α) = δ(t). Powyższy sposób dowodzenia równościdystrybucyjnych jest dość często stosowany; zastosujemy go jeszcze dowykazania następującej relacji dystrybucyjnej:d1(t) = δ(t).dtAby dowieść tej relacji określmy sygnał 1(t) jako granicę następującego ciąguaproksymacyjnego:⎧⎪⎨ 0 dla t < − α 21(t) = limtα→0 ⎪ α + 1 2dla − α 2 < t < α 2⎩1 dla t > α 2 .Pochodna tego wyrażenie prowadzi do następującego ciągu aproksymacyjnego:⎧⎪⎨ 0 dla t < − α 2ddt 1(t) = 1⎪ αdla − α 2 < t < α 2⎩0 dla t > α 2 .