Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE 18rzędu oraz mieć zwarty nośnik (czyli funkcje próbne muszą być dokładnie równe0 poza pewnym przedziałem).Fakt, że funcje próbne mają powyższe własności sprawia, że:• mogą być dowolnie wiele razy różniczkowane• są całkowalne, ponadto istnieją całki z iloczynów tych funkcji, z prawiedowolną inną funkcją ograniczoną.Przestrzeń wektorową - zbiór funkcji próbnych zadanych na Ω z określonymdodawaniem funkcji i mnożeniem funkcji przez liczbę oznaczamy jako D(Ω).Dystrybucją będziemy nazywać każdy liniowy funkcjonał określony na D(Ω).Innymi słowy dystrybucją f będzie każdy przepis L f , który dowolnej funkcjipróbnej ϕ ∈D(Ω) przypisze jednoznacznie liczbę, ponadto dla dowolnych funkcjipróbnych ϕ 1 , ϕ 2 oraz dowolnych liczb a 1 , a 2 spełniona jest relacjaL f (a 1 ϕ 1 + a 2 ϕ 2 ) = a 1 L f (ϕ 1 ) + a 2 L f (ϕ 2 ).Jak można określić działanie L f ? Gdy f jest funkcją lokalnie całkowalną,to poprawnym sposobem określenia tego działania jest formuła:ˆL f (ϕ) = f(x) ϕ(x) dxΩJest tak dlatego, gdyż własności funkcji próbnej gwarantują zbieżność całki, zaśliniowość wynika z tego, że całka jest funkcjonałem liniowym. Ponieważ przepisna obliczanie wartości dystrybucji jest tu zadana przez funkcję f, możemyniejako utożsamić funkcję f z dystrybucją którą .f określa. Widzimy, że w tymsensie dystrybucją jest każda funkcja lokalnie całkowalna.Czy prawdziwe jest odwrotne stwierdzenie? Czy działanie każdej dystrybucjida się zapisać przez formułę całkową z pewnym f, które jest zwykłą funkcją?Łatwo można wykazać, że tak nie jest. Zrobimy to podając kontrprzykład,czyli określając dystrybucję która nie da się sprowadzić do formuły całkowej zezwykłymi funkcjami.Definiujemy funkcjonał δ, którego działanie na dowolną funkcję próbną określamyjako:L δ0 (ϕ) = ϕ(0)Twierdzimy, że jest to dobrze określona dystrybucja. By to wykazać trzebapokazać, że: