Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 32tych sygnałów w bazie ortonormalnej.Mając dowolny układ N liniowo niezależnych sygnałów możemy uzyskaćbazę ortogonalną i ortonormalną N-wymiarowej przestrzeni przy użyciu iteracyjnejprocedury Gramma-Schmidta.Przykład:Mamy⎡określone ⎤ ⎡3 wektory ⎤ w⎡przestrzeni ⎤ R 3 :x 1 = ⎣ 1 1⎦ , x 2 = ⎣ 1 2⎦ , x 3 = ⎣ 1 1⎦.1 1 2Należy skonstruować na tej podstawie bazę ortonormalną w R 3 , którejpierwszy wektor jest proporcjonalny do x 1 .Aby wykonać to zadanie, to na podstawie zbioru liniowo niezależnych wektorów{x 1 , x 2 , x 3 } konstrujemy zbiór wektorów ortogonalnych {y 1 , y 2, y 3 }, przyjmującdla każdego i, że y i jest równe x i od którego odjęto jego rzuty na wcześniejustalone wektory y k . Po znalezieniu wszystkich y i znajdujemy końcowy układwektorów bazy ortonormalnej poprzez unormowanie wektorów y i .1. Krok pierwszy: przyjmujemu, że y 1 = x 1 .2. Krok drugi: przyjmujemy y 2 = x 2 −a 1 y 1 ; wartość a 1 ustalamy żądając, byznikał iloczyn skalarny y 1 · y 2 , co prowadzi do równania ⎡ x 2 · y 1 = a 1 y 1 · y 1 ,którego rozwiązanie to a 1 = 4 3 . To daje y 2 = 1 ⎣ −1 ⎤32 ⎦. Ponieważ norma−1y 2 nie ma na razie ⎡ znaczenia (i tak będzie ustalona na końcu), możemyteż za y 2 przyjąć ⎣ −1⎤2 ⎦.−13. Krok trzeci: przyjmujemy y 3 = x 3 −a 2 y 1 −b 2 y 2 ; wartości a 2 i b 2 ustalamyżądając znikania iloczynów skalarnych y 1 · y 3 oraz y 2 · y 3 , co prowadzido równań x 3 · y 1 = a 2 y 1 · y 1 oraz: ⎡ x 3 · y 2 = b 2 y 2 · y 2 . z rozwiązaniamia 2 = 4 3 , b 2 = − 1 6 . To daje y 3 = 1 ⎣ −1⎤0 ⎦2.1⎡ ⎤ ⎡4. Dzielimy y i przez ich normy otrzymując: z 1 = √ 1 3⎦, z 2 = √ 1 ⎣ −1 ⎤6⎦,⎣ 1 112−1