Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 4. PRÓBKOWANIE SYGNAŁÓW 63to kolejne kawałki widma pozostają rozdzielone (nie zlewają się) i możemyużyć dowolnego z nich do rekonstrukcji danych oryginalnego sygnału ciągłego.Warunek wyrażony w powyższej nierówności nazywamy warunkiem Nyquista.Aby dokonać rekonstrukcji używamy idealnego filtra dolnoprzepustowego,omówionego w (3.3). Filtrując sygnał x δ (t) tym filtrem o częstości granicznejω g spełniającej warunek ω m ≤ ω g ≤ ω p −ω m odfiltrowujemy z sygnału spróbkowanegoprzyczynki od powielonych składowych widma. Oznacza to, że widmotego tego filtra to impuls prostokątny o szerokości ∆ = 2ω g , (a więc Π(ω/∆)),czyli sam filtr jest opisany odpowiedzią impulsową postaci (3.3):h(t) = 1 π sinc(ω gt). (4.4)Najniższą możliwą częstością próbkowania, która nie powoduje nakładaniasię kolejnych kopii widma w trakcie próbkowania i pozwala na odzyskanie pełnejinformacji o widmie wyjściowego sygnału ciągłego jest wartość ω p = 2ω m . Dlatakiej częstości próbkowania wymagana częstość graniczna filtra wynosi ω g =ω m .By opisać działanie filtra rekonstrukcyjnego w dziedzinie częstotliowości,mnożymy obustonnie równanie (4.2) przez transmitancję filtra otrzymując:X δ (jω)Π( ω2ω g) = 12π[ω p∞ ∑k=−∞X(j(ω − kω p ))]Π( ω2ω g) = ω p2π X(jω).skąd rekonstrukcja sygnału x rec (t) ma postać:x rec (t) = F −1 [X(jω)] = 2π [F −1 X δ (jω)Π( ω ])ω p 2ω gZamieniając iloczyn widm na splot sygnałów czasowych dostajemy ostatecznie:(x rec (t) = π∞)∑[ ] sin(ωm t)x(kT )δ(t − kT ) ⊗ = (4.5)ω m πt=∞∑k=−∞k=−∞x(kT ) sin(ω m(t − kT ). (4.6)ω m (t − kT )Ostatnia formuła przedstawia formułę pokazującą jak obliczyć dokładną wartośćrekonstruowanej funkcji na podstawie znajomości jego próbek. Nosi ona