Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 38Okazuje się, że taki przepis na aproksymację można uzyskać inaczej - amianowicie poprzez żądanie, by błąd aproksymacji (2.10) rozumiany jako kwadratnormy różnicy miedzy aproksymowaną funkcją a jej aproksymacją, byłminimalny. Błąd ten jest funkcją współczynników rozwinięcia, więc warunkiemoptymalności jest znikanie pochodnych funkcji błędu wzgledem współczynnikówrozwinięcia. Mamy więc wyrażenie na błąd:ε = 1 Ttˆ0+T[x(t) −t 0oraz warunek na jego minimalizację:⎛∂⎝ 1∂c n Ttˆ0+Ttˆ0+T[x −t 0tˆ0+T[x(t) −t 0t 0x(t)f n (t)dt =∞∑k=−∞∞∑k=−∞∞∑k=−∞c k f k (t)∞∑k=−∞c k f k (t)] 2dt⎞2c k f k (t)]dt⎠ = 0]ˆc kt 0+Tt 0f n (t)dt = 0f k (t)f n (t)dtPonieważ funkcje f k (t)są ortogonalne, to ostatnia całka w powyższym równaniunie znika tylko dla k = n; tak więc z całej sumy wejdzie tylko człon zk = n. To prowadzi do równania na współczynniki rozwinęcia, którego rozwiązaniasą identyczne z formułą (2.11). To oznacza, że aproksymacja fourierowskajest optymalna.Gdy przestrzeń sygnałów jest zespolona, to formuła na współczynniki rozwinięciaulega lekkiej modyfikacji i przymuje postać:c n =t 0+T ´t 0t 0+T´t 0x(t)f n (t) ∗ dtf n (t)f n (t) ∗Zbadamy teraz rozwinięcia fourierowskie dla zespolonej i rzeczywistej bazyharmonicznej.