Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 3. TRANSFORMATA FOURIERA 50Wyznaczmy teraz transformatę Fouriera rzeczywistego sygnału eksponencjalniezanikającego: x(t) = 1(t)exp(−αt). Również ta funkcja jest bezwzględniecałkowalna (dla α > 0), więc możemy obliczyć całkę wprost:X(jω) =ˆ ∞0exp(−αt) exp(−jωt)dt =ˆ ∞0exp(−(α + jω)t)dt =1α + jω .Ten przykład przekonuje, że na ogół widmo sygnału jest funkcję zaspolonąnawet w sytuacji, gdy sygnał jest rzeczywisty. Każdą liczbę zespoloną możemyzapisać układzie biegunowym jako A exp(jΦ), gdzie A = |X(jω)| - amplituda,zaś Φ - faza. Funkcję przedstawiającą zależność amplitudy od częstotliwości nazywamywidmem amplitudowym, zaś fazy od częstotliwości - widmem fazowym.Dla sygnału eksponecjalnie zanikającego mamy:X(jω) =1α + jω = α − jωα 2 + ω 2 ,co w rezultacie dajeA(ω) = |X| =1√α2 + ω 2 ,( ) ImX(ω)Φ(ω) = arctan = − arctan( ω ReX(ω)α ).W widmie częstotliwościowym widać, że dominują w nim niskie częstości -maksimum widma jest dla ω = 0, następnie widmo maleje z szybością określonąprzez parametr α. Dla ω = α wartość amplitudy spada o czynnik √ 2 czyli 3dB w porównaniu do maksimum. Sygnały o podobnej charakterystyce nazywaćbędziemy sygnałami dolnopasmowymi.Przykład 3:Wyznaczymy teraz transformatę sygnału sgn(t).Dla tego sygnału całka (3.1) nie istnieje - nie jest on transforomalny w sensiezwykłym. Aby wyznaczyć jego transformatę w sensie granicznym bierzemy ciągaproksymujący postaci:x α (t) = exp(−α|t|)sgn(t).Dla każdego z elementów ciągu aproksymującego możemy wyznaczyć jegotransformatę w sensie zwykłym: