Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 402.5.2 Rzeczywisty trygonometryczny szereg FourieraNajbardziej znanym podejściem do aproksymacji funkcji okresowych jest użyciefunkcji trygonometrycznych jako funkcji bazowych. Zbiorem sygnałów,jakirozpatrujemy jest zbiór rzeczywistych funkcji okresowych o okresie T 0 z iloczynemskalarnym (2.9). Rzeczywistą bazą ortogonalną w tej przestrzeni jest zbiórfunkcji:1, cos k 2πT 0t,sin k 2πT 0t, k = 1, 2, . . .Używając tej bazy uzyskujemy następujący rozkład rzeczywistych funkcjiperiodyczych o okresie T 0 w szereg funkcji trygonometrycznych:x(t) = a 0 + ∑ (a k cos kω 0 t + b k sin kω 0 t), (2.13)gdzie ω 0 = 2πT 0, k jest liczbą naturalną, a współczynniki rozwinięcia wyrażająsię wzorami:a 0 = 1 tˆ0+TT 0a k = 2 tˆ0+TT 0b k = 2 tˆ0+TT 0t 0x(t)dt, (2.14)t 0x(t) cos kω 0 tdt, (2.15)t 0x(t) sin kω 0 tdt. (2.16)Te same formuły uzyskamy, gdy dokonamy rozwinięcia rzeczywistej funkcjiw zespolonej bazie harmonicznej. Wtedy żądane, by zespolony szereg aproksymowałfunkcję, która w istocie jest rzeczywista daje relacje między różnymiwspółczynnikami prowadzące do wzorów (2.13- 2.16).Klasyczna metoda aproksymacji zespolonymi funkcjami harmonicznymi lubfunkcjami trygonometrycznymi to przykład analizy częstotliwościowej sygnału.W takiej aproksymacji reprezentujemy sygnał - funkcję czasu jako sumę składowych(sygnałów wzorcowych) o ustalonych częstotliwościach. Ma ona zastosowaniewówczas, gdy aproksymowany sygnał jest okresowy.