Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 3. TRANSFORMATA FOURIERA 55traktowany jako iloczyn sygnału x(t) i pewnej funkcji czasu, która jest równa0 (lub bardzo szybko zmierza do 0) poza obszarem, w którym sygnał jest namznany, a mało go zmienia w obszarze, w którym sygnał znamy dobrze. Rolą tejfunkcji jest obcięcie sygnału w obszarze, w którym nie jest nam dobrze znany.Każdą taką funkcję nazywać będziemy funkcją okna w(t); jej najprostszą wersjąjest impuls prostokątny.Podsumowując - względy praktyczne powodują, że dokonujemy analizy częstotliwościowejnie sygnału x(t), lecz jego obciętej wersji x w (t) = w(t)x(t). Jakwiemy, widmo iloczynu funkcji jest równe splotowi ich widm. Mamy więc:X w (ω) = 12π X ⊗ WWidać, że od wyboru funkcji okna zależy, jak bardzo widmo idealne, daneprzez X(ω), różni się od widma zmierzonego, określonego przez X w (ω). Zróbmyprosty rachunek dla przypadku sygnału harmonicznego cos(ω 0 t). Dla takiegosygnału widmo idealne jest równe:X(jω) = π [δ(ω − ω 0 ) + δ(ω + ω 0 )]Natomiast widmo sygnału okienkowego to splot powyższego wyrażenia zwidmem funkcji okna. Wziąwszy pod uwagę, że sygnał X(ω) to suma deltDiraca, dostajemyX(jω) = 1 2 [W (ω − ω 0) + W (ω + ω 0 )]Widzimy, że zniekształcenie widma spowodowane okienkowaniem będzie tymmniejsze im bliższe delcie Diraca będzie widmo funkcji okna. Tak więc funkcjeokna powinny mieć widmo silnie skoncentrowane wokół pulsacji ω = 0 iszybko zanikające ze wzrostem pulsacji. Szerokość maksimum wokół zera (listekgłówny) określa rozdzielczość częstotliwościową, czyli minimalną odległość w ω,na jaką mogą zbliżyć się do siebie dwie składowe harmoniczne o równych amplitudach,aby jeszcze były rozróżnialne. Gdy odległość w częstotliwości dwóchtakich składowych harmonicznych jest rzędu szerokości prążka głównego, to sygnałod nich zlewa się w jeden prążek i przestaje być rozdzielany. Natomiastpoziom maksimów bocznych w widmie okna (inaczej listków bocznych) decydujeo tym, czy dwie składowe sygnału o ustalonych częstościach, ale różniące się amplitudamibędą rozdzielane. Rozważamy tu sytuację, w której dwie składowesygnału o ustalonych częstotliwościach, rozdzielone przy równych amplitudachprzestają takie być, gdy amplitudę jednej z nich zmniejszymy tak, że wysokość