Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 392.5.1 Zespolona baza harmonicznaUkładem zespolonych funkcji okresowych, które można wykorzystać jako bazęw przestrzeniL 2 T 0jest przeliczalny ciąg funkcji harmonicznych postaci:g k (t) = exp(j 2πkT t)Chcemy, by wszystkie funkcje zbudowane jako kombinacje funkcji bazowychbyły automatycznie okresowe z okresem T . Tak będzie, gdy wszystkie funkcjebazowe będą okresowe z takim właśnie okresem. Takie wymaganie prowadzi dorelacji:g k (t + T ) = exp(k 2πj (t + T )) = exp(2kπj)g(t),Tz której wnioskujemy, że k może przyjmować tylko wartości całkowite: k =0, ±1,±2, . . .Łatwo sprawdzić, że funkcje bazowe odpowiadające różnym wartościom k sąwzajemnie prostopadłe. Funkcje te są również unormowane w normie określonejprzez iloczyn skalarny (2.9). Funkcje bazowe można zapisać na różne sposóbypokazujące ich zależność od pulsacji, częstotliwości oraz okresu. jako:g k (t) = exp(jkω 0 t) = exp(j2πf 0 t) = exp( 2πjT kt).Z tych postaci sygnału odczytujemy wartości pulsacji, czestotliwości i okresudla różnych funkcji bazowych: ω k = kω 0 , f k = kf 0 , T k = T0k. Tak więc w bazieharmonicznej sygnał jest sumą składowej stałej (k = 0) oraz kolejnych harmonicznych,których pulsacje (częstotliwości) rosną a okres maleje wraz z numeremharmoniki. Częstotliwość najniższej (pierwszej) harmoniki jest określona przezokres periodyczności T analizowanego sygnału:ω 0 = 2πf 0 = 2πT 0.Współczynniki rozwinięcia w tej bazie mają postać:c k = 1 tˆ0+TT 0t 0x(t) exp(−jkω 0 t)dt (2.12)