Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 7. FILTRY CYFROWE 1347.6.3 Projektowanie filtrów IIR metodą transformacji biliniowejProjektowanie filtrów metodą transformacji biliniowej (inaczej zwanej metodąTustina), podobnie jak metodą niezmienności odpowiedzi impulsowej, polegana odwzorowaniu charakterystyki prototypu analogowego. Jej sporą zaletą jestprzejście bezpośrednio z postaci transmitancji Laplace’a zaprojektowanego filtruanalogowego do transmitancji cyfrowej bez stosowania transformacji Laplace’ajak i transformacji Z. Nie występuje także problem aliasingu wspomniany wpoprzedniej metodzie.Transformację transmitancji filtru analogowego na cyfrowy dokonujemy przezpodstawienie:s = 2 T s· z − 1z + 1 , (7.37)gdzie T s jest okresem próbkowania (T s = 1 f s)Mówimy wówczas, że został skonstruowany filtr cyfrowy taki, że:H d (z) = H a (s) = H a ( 2 T s· z − 1z + 1 ).Charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową filtru analogowego określamypodstawiając s = jω, cyfrowego zaś podstawiając z = e jΩ , zatem na podstawie(7.37):s = 2 T s· ejΩ − 1e jΩ + 1 ,wiedząc, że:sin x = ejx − e −jx2je j Ω 2cos x = ejx + e −jx,2obliczamy:( ) ( )jω = 2 · ejΩ − 1T s e jΩ + 1 = 2 e j Ω 2 e j Ω 2 − e −j Ω 2· ( ) = j 2 e j Ω 2 − e −j Ω 2 / (2j)· ( )T s e j Ω 2 + e −j Ω 2T s e j Ω 2 + e −j Ω 2 /2= j 2 T s· sin Ω 2cos Ω 2= j 2 T s· tan Ω 2 ,zatem związki między pulsacjami analogową ω i cyfrową Ω wyrażają się w następującysposób:ω = 2 T s· tan Ω 2 ,Ω = 2 arctan ωT s2 , (7.38)