Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 30• < αx + βy, z >= α < x, z > +β < y, z >,• x ≠ 0 ⇒< x, x >> 0,• x = 0 ⇒< x, x >= 0.Symbol ” * ” w pierwszym warunku określającym iloczyn skalarny oznaczasprzężenie zespolone. Widzimy, że iloczyn skalarny to funkcjonał respektującywłasności algebraiczne przestrzeni, w której działa - jest on funkcją liniową swojegopierwszego argumentu i antyliniową (tzn. liniową + sprzężenie zespolone)- drugiego.Jeżeli w zbiorze sygnałów (przestrzeni liniowej) jest określony iloczyn skalarny,to zbór ten jest również przestrzenią unormowaną z normą określoną jako:‖x‖ = √ < x, x >.Ponadto, jak pokazywaliśmy to wcześniej, taka przestrzeń jest również przestrzeniąmetryczną w której jest równierz zadana przez iloczyn skalarny:ρ(x, y) = ‖x − y‖ = √ < x − y | x − y >.Mając określony iloczyń skalarny możemy wprowadzić jeszcze określeniedwóćh struktur matematycznych używanych w analizie sygnałów. I tak, zbiórsygnałów wyposażony w operacje dodawania sygnałów, mnożenia sygnału przezliczbę oraz iloczyn skalarny, unormowany przez normę określoną przez iloczynskalarny nazywamy przestrzenią unitarną.Jeżeli tak określona przestrzeń unitarna jest zupełna (w metryce określonejprzez iloczyn skalarny), to nazywamy ją przestrzenią Hilberta.2.2.4 Kąt między sygnałami. Bazy ortogonalne i ortonormalneto liczba rzeczywista mniejsza od 1. To pozwala nam interpretowaćją jako kosinus kąta - możemy więc dla dowolnych dwóch sygnałów z przestrzeniunitarnej określić { kąt pomiędzy nimi w sposób następujący:arccos(||‖x‖‖y‖dla x ≠ 0 oraz y ≠ 0≮ (x, y) =0 dla x = 0 lub y = 0Jedną z własności, którą spełnia każdy iloczyn skalarny jest nierówność Schwartza.Mówi ona że dla dowolnych niezerowych wektorów x, y spełniona jest relacja:| < x, y > | ≤ ‖x‖‖y‖, czyli wartość bezwzględna iloczynu skalarnego dwóchniezerowych wektorów nie jest większy niż iloczyn ich norm. Oznacza to że wielkość||‖x‖‖y‖