Skrypt APSC - MARS

ROZDZIAŁ 4. PRÓBKOWANIE SYGNAŁÓW 62Aby zobaczyć mechanizm działania tego twierdzenia, prześledźmy procespróbkowania i następującej po nim rekonstrukcji ciągłego sygnału x(t) o ograniczonympaśmie. Wiemy, że proces równomiernego próbkowania sygnału analogowegomożemy matematycznie opisać jako iloczyn tego sygnału i dystrybucjigrzebieniowej Diraca, czylix δ (t) = x(t)δ T (t)Przez x δ (t) będziemy rozumieli dyskretny sygnał powstały ze spróbkowaniasygnału analogowego. T określa okres próbkowania, częstość próbkowania jestokreślona przez ω p = 2πT. Ponieważ spróbkowany sygnał jest iloczynem dwóchwielkości, jego widmo będzie splotem widm czynników. W rozdziale 3.3 wyznaczyliśmytransformatę Fouriera dystrybucji grzebieniowej, uzyskując wynikF [δ T (t)] = ω p∞ ∑k=−∞δ(ω − kω p ) = ω p δ ωp (ω p )Zastosowanie tej formuły pozwala nam wyznaczyć widmo spróbkowanegosygnału. Obliczając wartość splotu dostajemy:X δ (jω) = 12π X(jω) ⊗ ω pδ(ω p ) = ω p2π∞∑k=−∞X(j(ω − kω p )) (4.2)Uzyskany wynik mówi, że widmo dyskretnego sygnału otrzymanego w trakciepróbkowania sygnału ciągłego jest równe nieskończonej sumie powielonychi przesuniętych widm wyjściowego sygnału ciągłego. Odtworzenie oryginalnegosygnału jest możliwe wtedy, gdy potrafimy odzyskać pełną informację o widmie.Aby to było możliwe, sygnał x(t) musi być sygnałem o ograniczonym widmie.W przeciwnym razie kolejne egzemlarze wyjściowego widma nakładałybysię na siebie, powodując zniekształcenie widma, które uniemożliwia poprawnąrekonstrukcję. Ale wymaganie ograniczoności widma nie wystarcza, aby móczapewnić sobie możliwość rekonstrukcji. Musimy również zapobiec nakładaniusię na siebie kolejnych kopii widma.O tym, czy dojdzie do nakładania, decyduje relacja dwóch parametrów: ω mokreślającego szerokość oryginalnego widma (∆ = 2ω m ) oraz ω p - częstotliwościpróbkowania, która określa wielkość przesunięcia względem siebie kolejnych kopiiwidma oryginału. Jeżeli przesunięcie jest większe niż szerokość powielanegoobszaru:ω p ≥ ∆ = 2ω m (4.3)