History of Science Department University of Aarhus

6.2. APPROKSIMERET KEPLER BEV GELSE 93
A(ellipse)=KT = ab ) 2KT
ba
=2 = !T , 2K
ba
S ttes nu M = !t = middelanomalien, fas Keplers ligning:
Da
+
og da
fas
r 2 = (SD) 2 +(DP) 2 =(CD; ae) 2 + ((AD) b
= !.
M = E ; e sin E (6.2.1)
a )2 =(acos E ; ae) 2 +( b
a
a sin E)2
= a 2 (cos 2 E + e 2 ; 2e cos E + b2
a 2 sin 2 E)=a 2 (1 + e 2 (1 ; sin 2 E) ; 2e cos E)
r = a(1 ; e cos E) (6.2.2)
cos E = r
cos v + e (6.2.3)
a
r = a(1 ; e( r
a cos v + e)) = a ; er cos v ; ae2 , r = a(1 ; e 2 )(1 + e| cos {z v}
) ;1
= a(1 ; e 2 )(1 ; X + X 2 ; :::) jXj < 1
Led med potenser af e st rre end 2 fjernes:
X
(6.2.4)
r = a(1 ; X + X 2 ) ; ae 2 , r = a(1 ; e cos v ; e 2 sin 2 v) (6.2.5)
Fra 6.2.3 og 6.2.2 ses at:
Ved division fas:
(1;cos v)
(1+cos v)
= 1+e
1;e
mKvadratroden tages pa begge sider.
r(1 + cos v) =(1; e)(1+cosE) og
r(1 ; cos v) = (1 + e)(1 ; cos E)
(1;cos E)
v=2 ogE=2 be nder sig i samme kvadrant
(1+cos E)
tan v
2 =(1+e
1
) 2 tan 1;e E
2
Fra 6.2.1 og 6.2.6 kan v nu udvikles til en r kke ie og M. 3
Resultatet til 2.orden i e er:
(6.2.6)
v = !t +2e sin !t + 5
4 e2 sin 2!t (6.2.7)
Endelig skal det bem rkes at planeten P, set fra Solen S, bev ger sig uniformt om
et punkt forskudt 2ae + (led af orden st rre end 2) fra Solen mod aphelion. 4 Dvs.
at til 2.orden vil planeten bev ge sig uniformt om punktet B, som saledes fungerer
som et equantpunkt. I tilf ldet hvor P er Jorden, betyder dette at B er middelsolen.
3 Se [Sm31, s. 118{120].
4 Dette er vist i [Ma88, s. 375{378].