History of Science Department University of Aarhus

94 6. KEPLER BEV GELSEN
6.3. Approksimationer til Kepler bev gelsen, vha. cirkelbev gelser
I nedenstaende indgar kun led indeholdende (e n 1 em 2 )forn,m 2 N [f0g. Ordnen
af et led de neres som summen n + m. I udregningerne udvikles udelukkende til
potensr kker, hvorfor et led af orden f.eks. n ved r kkeudviklingen genererer andre
led af orden mindst n. Det er derfor tilladt at kassere led af orden st rre end 2 sa
snart de opstar.
Da planeten i Fig. 6.1 bev ger sig uniformt om punktet B s ttes equantpunktet E
i nedenstaende modeller lig B, dvs. 2e = e1 + e2 og a s ttes lig deferentens radius.
sikrer atter r kkernes konvergens.
Vurderingen e1 + e2
1
5
6.3.1. Equantmodellen. Fig. 6.2 viser en planets bane approksimeret ved en
equantmodel. Planeten bev ger sig pa en deferent, med radius a og centrum i M,
uniformt omequantpunktet E.
r
a
v v
E
ae
2
M
ae 1
N
p
S
P
Figur 6.2. Equantmodel.
Bev gelsesligningen for P i pol re koordinater er givet ved r =(r v), hvor r
udregnes fra guren:
Pythagoras pa 4MPN og efterf lgende r kkeudvikling giver:
+
r = a[(1 ; e 2 1 sin 2 v) 1
2 ; e1 cos v] ;1 < ;e 2 1 sin 2 v 1
Π
= a[(1 ; 1
2 e2 1 sin 2 v ; 1
8 e4 sin 4 v ; :::) ; e1 cos v]
r = a(1 ; e1 cos v ; 1
2 e2 1 sin2 v) til 2.orden i ei'erne. (6.3.1)
nsker nu denkorrekte anomali v udtrykt som funktion af middelanomalien v
dvs. som funktion af tiden. Betragt Fig. 6.2:
Sinusrelationen pa 4PSE giver:
sin p = a(e1 + e2)
r
sin v , p = v ; v =sin ;1 [a(e1 + e2)(r ;1 )sinv] (6.3.2)