SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken
(a) Erstelle eine übersichtliche Planfigur und drücke die Länge w γ der Winkelhalbierenden
von γ durch die Seitenlängen a, b und c aus.
(b) In welchem Verhältnis, ausgedrückt durch die Seitenlängen, wird [AB] von der
Winkelhalbierenden von γ geteilt?
(c) Für welche spezielle Wahl des Winkels α teilt die Winkelhalbierende von γ die
Seite [AB] im goldenen Schnitt? Verwende die Ergebnisse der Teilaufgaben (a)
und (b).
Lösung: (a) D = w γ ∩[AC]: ∆ABC ∼ ∆CBD und AD = w γ ergibt w γ = ab
c
(b) AD
DB = b a
(c)
c
AD = AD
DB
(b)
= b a =⇒ w γ
a = AD a = c b
(a)
=⇒ b c = c b
b 2 = c 2 , b = c =⇒ β = γ = 2α =⇒ 5α = 360 ◦ , α = 72 ◦
14. Die Gewichtskraft eines Lebewesens ist seinem Volumen, die Muskelkraft der Querschnittsfläche
des Muskels proportional. Wir nehmen an, daß ein ”
normaler“ Mensch
der Größe 180cm zusätzlich zu seinem eigenen Gewicht noch das 1,5fache seines
Körpergewichts tragen kann. Wie groß darf ein ”
normal proportionierter“ Riese
höchstens sein, damit er gerade noch mit eigener Kraft gehen kann? ”
Normal proportioniert“
heißt, daß der Riese durch eine zentrische Streckung aus dem ”
normalen“
Menschen hervorgeht.
Lösung: F =Muskelkraft, G =Gewichtskraft: F = 2,5G , F ′ = G ′ =⇒
k 2 F = k 3 G =⇒ F = kG =⇒ k = 2,5 , k ·180cm = 450cm
15. Ein Dreieck ABC mit c = 4cm, h c = 3cm und α = 60 0 wird durch eine Ähnlichkeitsabbildung
auf ein Dreieck A ′ B ′ C ′ mit dem Flächeninhalt 13,5cm 2 abgebildet.
Wie groß sind c ′ , h ′ c und α ′ im Bilddreieck.
Lösung: Der Winkel ist invariant, die Längen wachsen um den Faktor 3 2 .
4.2.4 Herleitungen geometrischer Aussagen
1. Untersuche, ob man aus den angegebenen Beziehungen auf die Ähnlichkeit der Dreiecke
ABC und RST schließen kann. Wenn ja, nach welchem Ähnlichkeitssatz?
(a) b : c = s : r, α = τ
(b) α = ρ, β = τ
.
A
b
C
γ
.
.
.
α β
c
a
B
.
R
s
T
τ
.
.
.
ρ
t
r
σ
S
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