SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken
6. Beweise den Satz: Die Längen der Höhen von zwei Ecken eines Dreiecks verhalten
sich wie die Abstände ihrer Fußpunkte von der dritten Ecke.
Lösung: Beweis mit Hilfe der Ähnlichkeit geeigneter Dreiecke.
7. Im gleichschenkligen Dreieck ABC ist γ = 36 o ,
AB = 3,0cm und AC = 4,9cm.
(a) Zeige, daß die Halbierende des Basiswinkels
≮ BAC das Dreieck ABC so zerlegt, daß ein
Teildreieck dem ganzen Dreieck ähnlich ist.
.
C
γ
(b) Berechne AD, DC und BD!
.
D
A
B
Lösung: (a) △ABD ∼ △ABC nach WW-Satz
(b) AD ≈ 3cm , DC ≈ 3cm und BD ≈ 1,9cm
8. Zwei Kreissehnen [AC] und [DP] schneiden
sich in einem Punkt P.
(a) Beweise: Die Dreiecke BCP und DPA
sind ähnlich.
(b) Leite daraus folgende Gleichung her:
u·v = x·y
A
.
x
u
P
.
v
y
D
B
C
Lösung: (a) ÜbereinstimmunginzweiWinkelmaßen(Scheitelwinkel undUmgangswinkelüber[CD]).
(b) Strahlensatz
9. Gegebensei eingleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. S bezeichne den Schnittpunkt
der Basishöhe mit der Winkelhalbierenden eines Basiswinkels. Beweise anhand einer
übersichtlichen Skizze (Schenkellänge a) folgende Aussagen:
(a) S teilt die Winkelhalbierende eines Basiswinkels im Verhältnis ( √ 2+1) : 1,
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