SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

5.3 Vierecke
Lösung:
5. In einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit der Basis c = [AB] wird die Höhe h c
über C hinaus um die Strecke s = [CD] verlängert.
FertigeeineSkizze undbeschriftesie. ZeigemittelsKongruenzbeweis (Voraussetzung,
Behauptung, Beweis), daß das Dreieck ABD gleichschenklig ist.
6. Gib für den Satz ”
Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann besitzt es zwei gleiche
Winkel“.
(a) die Umkehrung,
(b) die Kontraposition an.
(c) Entscheide, ob (1) der Satz, (2) die Umkehrung bzw. (3) die Kontraposition
wahr sind.
Lösung: (a) ”
Wenn ein Dreieck zwei gleiche Winkel besitzt, ist es gleichseitig.“
(b) ”
Wenn ein Dreieck keine zwei gleichen Winkel besitzt, dann ist es nicht gleichseitig.“
(c) Satz und (äquivalent) Kontraposition sind wahr, der Kehrsatz ist falsch.
7. Gib Voraussetzung und Behauptung des Satzes an und beweise ihn durch einen Kongruenzbeweis:
Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn eine Seitenhalbierende zugleich Höhe des Dreiecks
ist.
Lösung: Die Seitenhalbierende zerlegt das Dreieck in zwei Teildreiecke, die in zwei Seiten und einem
rechten Winkel übereinstimmen.
8. Wir betrachten den Satz:
Wenn in einem Dreieck die Summe von zwei Winkeln 80 0 beträgt, dann ist das Dreieck
stumpfwinklig.
(a) Ist die Voraussetzung hinreichend, notwendig, beides oder keines von beiden?
(b) Gib an, ob der Satz oder der Kehrsatz richtig sind, und begründe dies.
Lösung: Die Voraussetzung ist hinreichend aber nicht notwendig. Deswegen ist nur der Satz wahr.
9. Beweise mit Hilfe eines Kongruenzbeweises:
Zwei beliebige durch den Diagonalenschnittpunkt eines Parallelogramms verlaufende
Geraden schneiden seine Seiten in vier Punkten, die miteinander verbunden, wiederum
ein Parallelogramm bilden.
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