SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken
Lösung:
2. Das Dreieck ABC ist rechtwinklig mit einem rechten Winkel bei C. Der Fußpunkt D
der Höhe h zerlegt [AB] in zwei Abschnitte der Längen p und q.
(a) Zeige: Die Dreiecke ADC und
CDB sind ähnlich.
(b) Folgere daraus: h 2 = pq.
C
γ 1
. γ 2
h
.
A
.
α
p
.
D.
q
β .
B
Lösung:
Lösung:
3. Beweise folgende Aussagen anhand einer übersichtlichen Skizze:
(a) Die Längen der Höhen von zwei Ecken eines beliebigen Dreiecks aus verhalten
sich umgekehrt wie die Längen der zugehörigen Seiten.
(b) Die Längen der Höhen von zwei Ecken eines beliebigen Dreiecks aus verhalten
sich wie die Entfernungen der Höhenfußpunkte von der dritten Ecke.
4. Im Dreieck ABC betragen die Winkel α = 40 0 und β = 60 0 . Beweise: Die Winkelhalbierende
w γ zerlegt das Dreieck in zwei Teildreiecke, von denen eines zum ganzen
Dreieck ähnlich ist.
Lösung: Die Winkelhalbierende schneidet die Seite c in D. Dann ist CBD ∼ ABC, weil die Dreiecke
in den Winkelmaßen übereinstimmen.
5. In einem Dreieck ABC gilt die Winkelbeziehung γ = 2α. Die Winkelhalbierende w γ
trifft [AB] in D.
(a) Begründe anhand einer übersichtlichen Skizze genau, dass eines der beiden entstehenden
Teildreiecke zum ganzen Dreieck ähnlich ist.
(b) Gib die entsprechenden Streckenverhältnisse im jeweils ähnlichen Dreieck an:
CD : BC = ?; AB : BC = ?
Lösung: (a): △CBD ∼ △ABC
(b): CD : BC = AC : AB;
AB : BC = BC : BD
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