SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

5.3.4 Beweise
1. Betrachte folgenden Satz:
5.3 Vierecke
” Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90◦ -Winkel ist ein Rechteck.“
(a) Gib Satz und Kehrsatz in der Wenn-dann-Form an!
(b) Ist die Voraussetzung des Satzes notwendig, hinreichend oder notwendig und
hinreichend für die Behauptung des Satzes?
Begründe deine Entscheidung!
Lösung: (a) Wenn ein Viereck achsensymmetrisch ist und einen 90 ◦ -Winkel hat, dann ist es ein
Rechteck.
(b) Die Voraussetzung ist notwendig für den Satz.
Die Voraussetzung ist aber nicht hinreichend für den Satz.
Ein Gegenbeispiel ist z. B. ein Drachenviereck mit Symmetrieachse AC und β = δ =
90 ◦ .
Lösung:
2. Zeichnet man in einem gleichschenkligen Dreieck von der Mitte der Basis aus Lote
auf die beiden Schenkel, so sind diese gleich lang.
Fertige eine Skizze und bezeichne sie zweckmäßig. Führe einen Kongruenzbeweis
durch (Voraussetzung, Behauptung, Beweis), wobei alle Beweisschritte zu begründen
sind.
Lösung:
3. Wenn man auf den Schenkeln eines gleichschenkligen Dreiecks von der Basis aus
gleiche Stücke abschneidet und mit den gegenüberliegenden Basisecken verbindet, so
sind diese Verbindungsstrecken gleich lang und bilden mit der Basis gleiche Winkel.
Beweise diesen Satz!
4. An der Spitze C eines gleichschenkligen Dreieckes
ABC werden nach links und rechts gleich große
Winkel δ angetragen. Die freien Schenkel schneiden
die verlängerte Basis des Dreieckes in den
Punkten P und Q (siehe Skizze rechts).
Zeige mit Hilfe eines Kongruenzbeweises, daß das
Dreieck PQC gleichschenklig ist.
C
δ δ
. .
P A B Q
Lösung:
137