SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

5.3 Vierecke
Lösung: Man bezeichne wie üblich die Seiten mit a = AB, b = BC, c = CD, d = DA, und die
Diagonalen mit e = AC bzw. f = BD. Dann gilt nach der Dreiecksungleichung:
Summation ergibt:
e ≦ a+b
e ≦ d+c
f ≦ a+d
f ≦ b+c
2(e+f) ≦ 2(a+b+c+d)
Lösung:
15. ”
Wenn ein Viereck drei rechte Winkel hat, dann ist es ein Quadrat.“
(a) Prüfe, ob die Voraussetzung dieses Satzes eine notwendige oder hinreichende
Bedingung für die Behauptung ist.
(b) Formuliere den Kehrsatz.
(c) Sind der Satz bzw. der Kehrsatz richtige Sätze?
16. Gib dafür, daß ein Viereck ein Parallelogramm ist,
(a) eine notwendige Bedingung an, die nicht hinreichend ist,
(b) eine hinreichende Bedingung an, die nicht notwendig ist,
(c) eine Bedingung an, die notwendig und hinreichend ist.
Lösung: (a) z.B. zwei Seiten sind parallel “
”
(b) z.B. alle Seiten gleich lang “
”
(c) z.B. je zwei Gegenseiten gleich lang “
”
17. Richtig oder falsch? – Untersuche folgende Sätze auf ihre Richtigkeit! Zeichne bei
falschenSätzeneinGegenbeispielundbegründerichtigeSätzekurz(keinvollständiger
Beweis nötig)!
(a) In einem Drachenviereck stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht.
(b) In einem Drachenviereck halbieren sich die Diagonalen gegenseitig.
(c) Ein mittensymmetrisches Viereck hat zwei gleich lange Seiten.
(d) Ist einViereck zugleich einDrachenviereck undeinTrapez, so isteseinQuadrat.
(e) In einem gleichschenkligen Trapez halbieren sich die Diagonalen
(f) Ist ein gleichschenkliges Trapez punktsymmetrisch, so ist es ein Rechteck.
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