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5.3 Vierecke
5.3.3 Drachenvierecke und Trapeze
1. In einem Trapez ABCD mit den parallelen Grundlinien [AB] und [DC] werde die
Mittellinie des Trapezes von den Diagonalen [AC] bzw. [BD] in zwei verschiedenen
Punkten E bzw. F geschnitten.
(a) Warum ist das Viereck EFCD ebenfalls ein Trapez? Kurze Begründung!
(b) Berechne die Mittellinienlänge des Trapezes EFCD und drücke diese durch die
Grundlinienlängen a = AB und c = DC des Trapezes ABCD aus!
Lösung: (a): Parallelität der Mittellinie zu den Grundseiten
(b): m = 1 4 ·(a+c)
Lösung:
2. Im Trapez ABCD (siehe Zeichnung) sei M die
Mitte des Schenkels [AD]. Die Gerade CM treffe
AB im Punkt E.
(a) Beweise: EA = DC!
Die Parallele zum Schenkel [AD] durch B treffe
DC im Punkt F.
. . . . .
(b) Zeige ausführlich, daß für die Länge m der
E A
Mittellinie des Trapezes EBFD gilt:
m = AB + 1 ·DC 2
D
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M
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C
B
F
3. Von einem Viereck ABCD ist bekannt: β = γ = δ, b = c.
(a) Begründe kurz, warum das Viereck zwar ein Quadrat aber keine Raute mit
γ ≠ 90 0 sein kann.
(b) Welche Werte können die drei gleichen Winkel β, γ und δ besitzen? Um welchen
besonderen Viereckstyp handelt es sich?
Lösung: (b) Geht man von einem konvexen Viereck aus, so gilt 60 0 < β < 120 0 , sonst β < 120 0 .
Es handelt sich um ein (spezielles) Drachenviereck: Aus b = c ergibt sich, daß BCD ein
gleichschenkliges Dreieck ist. Daraus folgt wegen β = δ, daß auch ABD gleichschenklig sein
muß.
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