SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

3.4 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Also:
0 < a < b =⇒ 1 a > 1 b
a < b < 0 =⇒ 1 a > 1 b
a < 0 < b =⇒ 1 a < 1 b
3.4 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
1. Warum 0 0 nicht definiert ist
Anna bringt folgendes Argument: ”
Da a 0 = 1 für alle a ≠ 0 schon festgelegt ist, wäre
es doch sinnvoll, auch 0 0 = 1 zu definieren.“ Darauf antwortet Paul: ”
Da 0 n = 0 für
alle n ∈ N schon festgelegt ist, wäre es doch sinnvoll, auch 0 0 = 0 zu definieren.“
Zeige, dass beide Definitionen für 0 0 jeweils eines der Potenzgesetze verletzen.
Lösung: Aus Annas Definition 0 0 = 1 folgt: 1 = 1 (
1 = 20 2
0 0 = 0
( ) 2 0
Der letzte Term ist aber wegen der Null im Nenner nicht definiert, damit ist das
0
Potenzgesetz an ( a
) n
b n = verletzt.
b
Aus Pauls Definition 0 0 = 0 folgt: 0 = 0 0 = 0 2−2 = 02
0 2 = 0 0
) 0
Der letzte Term 0 0
ist aber wegen der Null im Nenner nicht definiert, damit ist das
Potenzgesetz a n−m = an
a m verletzt.
2. Lebensalter
Berechne mit dem Taschenrechner die 5. Potenz deines Lebensalters. Sag mir die
”
Endziffer deines Ergebnisses und ich sage dir, wie alt du bist.“ Quelle: Schnittpunkt
9 (1995)
Lösung: Endziffer bleibt in der fünften Potenz erhalten. Allerdings muss das Jahrzehnt geschätzt
werden.
3. Das Universum hat ein Volumen wie ein Würfel mit einer Kantenlänge a von zwanzig
Milliarden Lichtjahren (Lichtgeschwindigkeit: c = 3·10 8 m ). Ein Proton beansprucht
s
ein Volumen wie ein Würfel mit der Kantenlänge b = 10 −15 m. Wie viele Protonen
passen in das Universum?
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