Diplomarbeit - Eingebettete Systeme - Technische Universität ...

2 Grundlagen der Phase-Locked Loop
der Phasenfehler aber unter Umständen mehrmals den Bereich −π bis π durchläuft.
Diesen Bereich nennt man Ziehbereich ∆ωP I (engl. pull-in range).
Ist die PLL eingerastet und wird die aktuelle Frequenz des Eingangssignals sprunghaft
verändert, so bezeichnet man die Frequenz, bei der die PLL ausrastet, als Ausrastfrequenz
∆ωP O (engl. pull-out frequency) bzw. den entsprechenden Frequenzbereich
Ausrastbereich (dynamische Stabilitätsgrenze). Wird die Frequenz des Eingangssignals
hingegen langsam verändert, so wird der Bereich bis zu der Frequenz, bei
der die PLL ausrastet, als Haltebereich ∆ωH (engl. hold-in range) bezeichnet (statische
Stabilitätsgrenze). Außerhalb dieses Bereichs ist die PLL instabil. Demnach
gilt
∆ωL < ∆ωP I
(2.8)
für den ausgerasteten Anfangszustand und
∆ωP O < ∆ωH
(2.9)
für den eingerasteten Anfangszustand. Darüber hinaus gilt für die meisten PLL
[Bes93],[Kro03]
∆ωL < ∆ωP O < ∆ωP I < ∆ωH . (2.10)
2.3 Grundgleichungen der zeitkontinuierlichen PLL
2.3.1 Modellierung der PLL mit Hilfe von Phasensignalen
Für den Entwurf des Reglers und der Systemparameter ist eine Beschreibung im
Bildbereich hilfreich. Hierbei ergibt sich zunächst das Problem, dass das System
nichtlineare Elemente wie z.B. den Phasendetektor enthält. Dieses Problem kann
man für den Bereich umgehen, in dem der Phasendetektor für Eingangsphasen linear
(z.B. Dreieck- oder Sägezahn-Detektor) bzw. näherungsweise linear (Sinusdetektor)
arbeitet. Hierzu betrachtet man nicht mehr die Amplituden der Sinussignale, sondern
deren Argumente und bezeichnet diese als Phasensignale. Das Phasensignal zum PLL-
Eingangssignal (2.1) lautet somit ϕi(t) = ωit + φi.
Der Frequenzteiler verhält sich für Phasensignale wie ein gewöhnlicher Teiler
ϕ ′ i(t) = (ωit + φi)/Ni. Der Phasendetektor kann als Subtrahierer modelliert werden
∆ϕ(t) = ϕ ′ i(t) − ϕ ′ o(t). Der Regler bleibt unverändert, da er bereits mit Phasensignalen
arbeitet. Das VCO-Ausgangsphasensignal lautet ϕo(t) = (ωc + K0uV CO)t + φo.
Die Kreisfrequenz ist bekanntlich die Ableitung der Phase nach der Zeit. Leiten wir
letzte Gleichung nach der Zeit ab, erhalten wir:
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