Diplomarbeit - Eingebettete Systeme - Technische Universität ...

2 Grundlagen der Phase-Locked Loop
Auswirkungen des Ampltitudenfehlers der FIR-Hilbert-Approximation auf die
Phasendetektion
Während der Realteil eines analytischen Filters perfekt in Amplitude und Phase
abgebildet werden kann (konstante Verzögerung), entsteht bei der Bildung des Imaginärteils
ein Amplitudenfehler. Die Auswirkungen dieses Fehlers auf den resultierenden
Phasenfehler sollen im Folgenden analysiert werden. In Abbildung 2.18(a) ist das
analytische Signal einer Sinusschwingung
s = si + jsq = e jϕ
(2.111)
in der komplexen Ebene dargestellt. Des Weiteren ist das durch das Hilbert-Filter
verfälschte Signal
s ′ = si + js ′ q
(2.112)
dargestellt. Die Q-Komponente ist durch die frequenzabhängige Verstärkung Gq �= 1
des Hilbert-Filters (siehe Abbildung 2.17(d)) verfälscht worden (s ′ q = Gq sq). In der
Abbildung ist Gq = 0.5. Es ist deutlich zu erkennen, dass sich der Vektor auf einer
Elipse statt auf einer idealen Kreisbahn bewegt. Entsprechend wirkt sich dies auf den
Betrag
|s ′ �
(ϕ)| = cos2 ϕ + G2 q sin2 ϕ (2.113)
aus, der in Abbildung 2.18(b) für zwei Umläufe dargestellt ist. Die Auswirkung auf
die Phase
∠s ′ (ϕ) = arctan (Gq tan ϕ) (±π) (2.114)
ist in Abbildung 2.18(c), zusammen mit dem Phasengang eines idealen Phasendetektors
dargestellt. Der Fehler für die Eingangsphase null ist ebenfalls null. Außerhalb
der Nullphase wird die Ausgangsphase verzerrt.
In Abbildung 2.18(d) ist der resultierende Phasenfehler für diesen Fall dargestellt.
Der Phasenfehler hat einen nahezu sinusförmigen Verlauf, ist symmetrisch um die
Nullphase verteilt und die dominante Signalfrequenz entspricht gerade der doppelten
Frequenz des Eingangssignals. Da diese in der Regel wesentlich höher liegt als die
Eigenfrequenz der PLL (2ωi >> ωn), lässt sich der Fehler sehr einfach mit einem
Tiefpassfilter eliminieren, ohne die Eigenschaften der PLL zu beeinflussen.
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