Diplomarbeit - Eingebettete Systeme - Technische Universität ...

2 Grundlagen der Phase-Locked Loop
2.4.7 Stabilität
Für die zeitkontinuierliche PLL zweiter Ordnung wurde festgestellt, dass diese im
linearen Bereich immer stabil ist solange ζ > 0 gilt. Für zeitdiskrete Systeme stellt
die Abtastfrequenz eine neue Größe dar, die sich negativ auf die Stabilität auswirken
kann. Ebenso wirken sich große Verzögerungszeiten D negativ auf die Stabilität
aus. Wie beim Zeitverhalten zeigt die Stabilitätsanalyse gleiches Verhalten, solange
D proportional zum Verhältnis fs/fn verändert wird. Die Stabilitätsanalyse wurde
mittels numerischer Berechnung der Polstellen durchgeführt. Da sich mit jedem neuen
Wert von D eine neue Übertragungsfunktion ergibt, wurde dieser Prozess automatisiert.
Ist die Lage der Polstellen bekannt, lautet das notwendige und hinreichende
Stabilitätskriterium:
Ein zeitdiskretes System H(z) ist genau dann stabil, wenn sämtliche Pole z∞ innerhalb
des Einheitskreises der z-Ebene liegen (|z∞| < 1). [Unb00]
Die maximal zulässige Verzögerungszeit, die dieses Stabilitätskriterium erfüllt, wurde
empirisch zu
D ≤ 0, 12fs/fn
(2.84)
ermittelt. Solange die wesentlich schärfere Bedingung (2.83) eingehalten wird, ist
somit keine Instabilität zu erwarten. In Abbildung 2.9 ist die Stabilitätsgrenze in
Abhängigkeit der beiden Parameter Verzögerungszeit D und Eigenfrequenz fn, normiert
zur Abtastfrequenz fs dargestellt. Ebenso ist der Arbeitsbereich, der sich aus
Kriterium (2.83) ergibt, eingezeichnet.
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