Diplomarbeit - Eingebettete Systeme - Technische Universität ...
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2 Grundlagen der Phase-Locked Loop<br />
∆ϕ∞ =<br />
˙<br />
2∆ω<br />
KIKdK0Ni/No<br />
= ˙ 2∆ω<br />
ω2 nNi<br />
. (2.39)<br />
Durch eine hohe Verstärkung des I-Anteils (KI) bzw. durch eine hohe Eigenfrequenz,<br />
kann der stationäre Phasenfehler entsprechend reduziert werden.<br />
2.3.8 Zeitverhalten<br />
Neben dem stationären Fehler ist der zeitliche Verlauf für verschiedene Eingangssignale<br />
interessant. Abbildung 2.5(a) zeigt die Ausgangsphase der PLL mit PI-Regler nach<br />
einem Phasensprung der Eingangsphase um 1° für verschiedene Dämpfungen. Abbildung<br />
2.5(b) zeigt die Sprungantwort der Fehlerübertragungsfunktion. Die Zeitachse<br />
wurde auf die Periodenlänge der Eigenfrequenz (Tn = 2π/ωn) normiert.<br />
Ein weiteres wichtiges Eingangssignal ist der Frequenzsprung, der einer rampenförmigen<br />
Phase entspricht. In Abbildung 2.5(c) ist die Antwort des Phasensignals<br />
auf ein Frequenzsprung von ωn dargestellt. Interessanter ist hingegen die Antwort des<br />
Phasenfehlers in Abbildung 2.5(d). Der Frequenzfehler kann offensichtlich mit dieser<br />
PLL ausgeregelt werden.<br />
Markant ist das hohe Überschwingen für kleine Dämpfungswerte. Für Dämpfungswerte<br />
nahe Eins (ζ = 0, 707 bis 2) ist das System nach max. 2Tn eingeschwungen. Für<br />
hohe Dämpfungswerte zeigt die Phasen-Sprungantwort zwar ein kurzes Einschwingverhalten<br />
(Abb. 2.5(b), ζ = 10), das Einschwingen des Phasenfehlers bei einem Frequenzsprung<br />
dauert dafür um so länger (Abb. 2.5(d), ζ = 10). Daher sind oft Dämpfungswerte<br />
zwischen 0.5 und 2 in der Praxis anzutreffen [Gar05].<br />
2.4 Grundgleichungen der zeitdiskreten PLL<br />
2.4.1 Berechnung der z-Übertragungsfunktion als Näherung für<br />
kontinuierliche <strong>Systeme</strong><br />
Diskrete Signale und <strong>Systeme</strong> lassen sich vorteilhaft mit Hilfe der z-Transformation<br />
beschreiben [Fli91]. Liegt ein diskretes System z.B. in Form einer Differenzengleichung<br />
vor, so lässt sich die z-Transformierte direkt durch Anwendung der Transformationsbeziehung<br />
angeben. Möchte man hingegen ein kontinuierliches System durch ein äquivalentes<br />
diskretes System beschreiben, so ist dies nur für bestimmte Eingangssignale<br />
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