Diplomarbeit - Eingebettete Systeme - Technische Universität ...

2 Grundlagen der Phase-Locked Loop
2.3.5 Stabilität
Ist die Lage aller Polstellen eines Systems bekannt, lässt sich sehr einfach die Bedingung
für die Stabilität angeben:
Ein System H(s) ist genau dann stabil, wenn sämtliche Pole s∞ auf der linken
s-Halbebene liegen (Re{s∞} < 0). [Unb05]
Bei der PLL mit PI-Regler nach (2.26) ergeben sich die Polstellen nach Nullsetzen
des Zählerpolynoms zu
s∞1/2 = −ζωn ± ωn
� ζ 2 − 1 . (2.28)
Der Realteil ist negativ für alle ζ > 0, d.h. für ζ ≤ 0 zeigt die PLL instabiles
Verhalten.
Bei Systemen zweiter Ordnung lassen sich die Polstellen einfach angeben. Bei Systemen
höherer Ordnung lassen sich diese oft nur numerisch ermitteln, so dass dies nur
für explizit bekannte Reglerparameter erfolgen kann. Ein weiteres beliebtes Kriterium
zur Bestimmung der Stabilität ist das vereinfachte Nyquistkriterium. Es besagt,
dass ein System H(s) genau dann stabil ist, wenn an der Stelle |H(jωD)| = 0dB die
Phase ∠H(jωD) > −180◦ ist. Der Abstand zur −180◦ Linie im Phasengang liefert
die Phasenreserve
ϕR = ∠H(jωD) + 180 ◦
(2.29)
welche in einem stabilen System stets größer Null sein muss [Unb05].
2.3.6 Bodediagramm
Neben dem damit verbundenen Stabilitätskriterium liefert das Bodediagramm noch
weitere Informationen über das Verhalten eines Systems. Abbildung 2.3 zeigt das Bodediagramm
der Führungsübertragungsfunktion für verschiedene Dämpfungen. Die
Frequenzachse wurde auf die Eigenfrequenz der PLL normiert. Man erkennt, dass die
PLL Tiefpassverhalten für Phasenmodulationen (ωm) des Eingangssignals aufweist.
Bis zur Eigenfrequenz kann die Ausgangsphase der PLL der Eingangsphase folgen,
höherfrequente Anteile werden unterdrückt. Für Dämpfungswerte ζ < 1/ √ 2 ≈ 0, 707
ist eine deutliche Resonanzüberhöhung erkennbar, große Dämpfungswerte führen hingegen
zu einem weniger ausgeprägtem Tiefpassverhalten. Im Gegensatz dazu zeigt das
Bodediagramm der Fehlerübertragungsfunktion Hochpassverhalten (Abbildung 2.4).
Niederfrequente Phasenmodulationsanteile können von der PLL gut verfolgt werden.
Bei Frequenzanteilen, die über der Eigenfrequenz liegen, entsteht jedoch ein Phasenfehler
von fast 100%, da das Eingangssignal praktisch ungedämpft auf den Ausgang
wirkt.
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