Diplomarbeit - Eingebettete Systeme - Technische Universität ...

mit der Impulsantwort eines Filters
hH(t) =
� 1/(πt) für t �= 0
0 für t = 0
2.7 Grundlagen der Phasendetektion
(2.101)
interpretiert werden. Dieses Filter wird im Folgenden als Hilberttransformator bezeichnet.
Die Fouriertransformation dieser Impulsantwort liefert
⎧
⎨ j für ω < 0
HH(jω) = 0
⎩
−j
für ω = 0
für ω > 0 ,
(2.102)
d.h. der Betrag eines Hilberttransformators ist Eins für alle Frequenzen ungleich
Null und die Phase ist konstant -90° für alle positive Frequenzen (bzw. +90° für
negative Frequenzen).
Erweitert man ein reelles Signal um einen Imaginärteil, der dessen Hilberttransformierten
entspricht, erhält man ein komplexes Signal
s(t) = s(t) + jH{s(t)} . (2.103)
Dieses hat die Eigenschaft, dass alle Spektralanteile der Fouriertransformierten
für negative Frequenzen verschwinden. Ein solches Signal wird analytisches Signal
genannt [Kam04].
Das analytische Signal einer sinusförmigen Schwingung der Form
lautet
s(t) = a(t) cos(ωt + φ0) (2.104)
s(t) = a(t) (cos(ωt + φ0) + j sin(ωt + φ0)) = a(t)e j(ωt+φ0)
. (2.105)
Die Hüllkurve a(t) und die Phase ϕ(t) = ωt + φ0 lassen sich relativ einfach mit Hilfe
der komplexen Rechnung ermitteln:
a(t) = � Re{s(t)} 2 + Im{s(t)} 2 (2.106)
ϕ(t) = arctan Im{s(t)}
(±π) (2.107)
Re{s(t)}
Ein idealer Phasendetektor kann daher als 4 Quadranten-Arcustangens-Abbildung
auf das Verhältnis zwischen Imaginär- und Realteil eines aus der Hilberttransformation
erzeugten analytischen Signals realisiert werden.
43