Diplomarbeit - Eingebettete Systeme - Technische Universität ...

2 Grundlagen der Phase-Locked Loop
exakt möglich [Unb00]. Die formale Beziehung zwischen der Laplacetransformierten
eines diskreten Systems und der z-Transformierten lautet
bzw.
z = e sTs (2.40)
s = 1
Ts
ln z . (2.41)
Die einfachste Methode zur Diskretisierung einer Differentialgleichung ist das Euler-
Verfahren, bei dem der Differentialquotient durch einen Differenzenquotienten mit
kleiner Schrittweite Ts approximiert wird:
df(t)
dt
�
�
� t=nTs
≈ 1
(f(nTs) − f((n − 1)Ts)); n ∈ Z0 (2.42)
Ts
Eine Differentialgleichung der Form
welche im Bildbereich
lautet, kann so durch die Differenzengleichung
y(t) = d
x(t) , (2.43)
dt
Y (s) = sX(s) (2.44)
y(n) = 1
(x(nT ) − x((n − 1)Ts)) (2.45)
angenähert werden. Die Anwendung der z-Transformation liefert
Ts
Y (z) = 1
(1 − z −1 )X(z) . (2.46)
Ein Vergleich mit (2.44) liefert die Korrespondenz [Unb00]
Ts
s ↔ 1
(1 − z −1 ) . (2.47)
Ts
Eine einfache Approximation eines kontinuierlichen Systems H(s) kann somit durch
Einsetzen der Substitutionsbeziehung
s = 1
(1 − z −1 ) =
Ts
z − 1
Tsz
(2.48)
in die kontinuierliche Übertragungsfunktion erzielt werden. Diese Beziehung wird
auch Rechteckregel genannt, da die kontinuierlichen Signale durch Treppenfunktionen
dargestellt werden. Sie ist jedoch nur für kleine Abtastzeiten ausreichend genau.
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