Diplomarbeit - Eingebettete Systeme - Technische Universität ...

4.5 Implementierung der Interpolationsfilter
hat Nullstellen bei 0°, ±60°,±120° und 180°. Abbildung 4.5(a) zeigt den Betragsfrequenzgang
des Kammfilters. Die Dämpfung wird für Frequenzen, die Vielfache von
fs/6 sind, unendlich. Abbildung 4.5(b) zeigt die Übertragungsfunktion des IIR-Filters
welche bei zwei diskreten Frequenzen ±1/3fs unendlich hohe Verstärkung aufweist.
Die Reihenschaltung der beiden Filter ergibt sich nach Multiplikation und Polynomdivision
der beiden Übertragungsfunktionen zu
Fz6c3(z) = (1 − z −3 ) ·
z −2
1 + z −1 + z −2 = z−2 − z −3 . (4.7)
Man erkennt, dass die Gesamtübertragungsfunktion trotz rekursiver Strukturen eine
endliche Impulsantwort hat. Der entsprechende Betragsfrequenzgang ist in Abbildung
4.5(c) dargestellt. Das zugehörige Pol-/Nullstellen-Diagramm vor der Kürzung,
ist in Abbildung 4.5(d) zu sehen.
Eine weitere Vereinfachung kann durch Ausnutzung der sogenannten noble identity
für Interpolatoren verwendet werden. Die Operation der Interpolation ist i.A. nicht
kommutativ, die Vertauschung der Reihenfolge einer Übertragungsfunktion F (z) mit
einem Interpolator (↑ R) liefert [CR83]
(↑ R)F (z) = F (z 1/R )(↑ R) . (4.8)
D.h. wenn die Filterung vor der Interpolation vorgenommen wird, resultiert ein um
den Faktor R kürzeres Filter. Dies ist natürlich nur bei Filtern sinnvoll, bei denen die
Substitution F (z 1/R ) zu einer Übertragungsfunktion mit ganzzahligen Potenzen von
z resultiert. Für das Kammfilter FzD(z) ist dies für den Fall Dz/R ∈ Z möglich und
resultiert in
FzD(z 1/R Dz
−
) = 1 − z R . (4.9)
Somit werden R Register eingespart. Die resultierende Struktur zeigt Abbildung
4.6.
Abbildung 4.6: Abtastratenerhöhung mit FSF-Filtern
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