Diplomarbeit - Eingebettete Systeme - Technische Universität ...

2.5 Fang- und Ausrastbereich
chitekturen nutzen lassen. Daher soll hier ein allgemeiner Ansatz beschrieben werden,
der für die lineare PLL zutrifft.
Gesucht ist hierbei die maximale Differenzfrequenz ∆ωL = ω0 − ωL, bei der die PLL
sicher einrastet, ohne dass der lineare Arbeitsbereich verlassen wird. D.h. die Differenzphase
darf bei einem Frequenzsprung nie die maximal detektierbare Phase des
Phasendetektors überschreiten. Formal bedeutet dies
bei einem Eingangssignal von
∆ϕ(t) ≤ ϕdet,max ∀ t (2.85)
ϕi(t) = ∆ωLt . (2.86)
Der Parameter ϕdet,max ist hierbei die maximal detektierbare Phase des Phasendetektors.
Die Vorschrift für die Ermittlung der Fangbereichs-Frequenz lautet somit
allgemein
max(∆ωL t ∗ e(t) + ∆ϕ(0)) = ϕdet,max , (2.87)
wobei mit dem Operator ∗ die Faltungsoperation gemeint ist. Das Signal e(t) ist die
Impulsantwort der Fehlerübertragungsfunktion. Der Unterschied zwischen Fang- und
Ausrastbereich ist lediglich der, dass beim Ausrastbereich die PLL im eingerastetem
Zustand ist (∆ϕ(0) = 0), während beim Fangbereich eine beliebige Anfangsphase
zwischen −π und π zulässig ist. Für den linearen Phasendetektor gilt ϕdet,max = π.
Dieser Zusammenhang führt direkt zu der Erkenntnis, dass bei einer Anfangsphase
von ∆ϕ(0) = π beim kleinsten positiven Frequenzsprung sofort der lineare Bereich
verlassen wird. Die Einfangfrequenz ist somit ∆ωL = 0. Daher lassen einige Autoren
[Kro03], [SSS05] einen einmaligen Phasenschlupf während des Einfangprozesses
zu. Vor diesem Hintergrund liefert die Ausrastfrequenz ein ausreichendes Frequenzintervall,
in dem die PLL nach dem Einschalten sicher und mit maximal einem
Phasenschlupf einrastet. Im Folgenden soll daher die Ausrastfrequenz für die zeitkontinuierliche
PLL mit PI-Regler und linearem Phasendetektor hergeleitet werden.
Für diese gilt
∆ϕ(t) = ∆ωP O t ∗ eP I(t) = L −1 1
{∆ωP O
s2 EP I(s)} = ∆ωP O
e
Niωr
−ζωnt sin ωrt (2.88)
�
mit der Resonanzfrequenz ωr = ωn 1 − ζ2 [Unb05]. Der Zeitverlauf dieser Funktion
wurde bereits in Abbildung 2.5(d) auf Seite 23 dargestellt. Nach Ableiten und Nullsetzen
dieser Funktion finden sich die Extrempunkte bei t = (kπ + α)/ωr, k ∈ Z0
[IB05] mit
�
1 − ζ2 α = arctan( ) . (2.89)
ζ
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