Diplomarbeit - Eingebettete Systeme - Technische Universität ...

2 Grundlagen der Phase-Locked Loop
2.7.3 Erzeugung eines analytischen Signals
FIR-Approximation der Hilbert Transformation
Wie im letzten Abschnitt gezeigt wurde, lässt sich die Hilbert-Transformation für
zeitkontinuierliche Signale durch eine Faltung mit der Impulsantwort hH(t) beschreiben.
Diese Impulsantwort ist nichtkausal, da sie keine zeitliche Begrenzung hat und
ist somit nicht realisierbar. Sie kann aber durch eine endliche Impulsantwort approximiert
werden. In einem zeitdiskretem System muss außerdem beachtet werden, dass
das Spektrum des Hilberttransformators HH(jω) Anteile für ω → ∞ enthält und
demnach nicht bandbegrenzt ist. Da das zu detektierende Signal in der Regel Bandpassverhalten
hat, kann der Hilberttransformator bandbegrenzt werden:
⎧
⎨ −j für 0 < ω < ωg
HH,bb(jω) = j
⎩
0
für 0 > ω > −ωg
für ansonsten
(2.108)
Unter Berücksichtigung des Nyquist-Theorems lässt sich die Grenzfrequenz zu ωg =
πfs setzen, was die gesuchte zeitdiskrete Impulsantwort nach Rücktransformation und
Abtastung
hH,bb(n) =
1 − cos(πn)
πn
=
� 2/(πn) für ungerade n
0 für gerade n
(2.109)
liefert [Kam04]. Die Kausalität lässt sich z.B. mittels Fensterung der Impulsantwort
und anschließender Verschiebung in den positiven Zeitbereich erreichen.
Abbildung 2.17 zeigt die verschiedenen Eigenschaften eines approximierten FIR-
Hilberttransformators 11. Ordnung, der mit Hilfe der Methode der kleinsten Fehlerquadrate
berechnet wurde (firls()-Funktion der Matlab © Filter Design Toolbox).
In Abbildung 2.17(a) ist die Impulsantwort dargestellt. Sie ist ungerade, punktsymmetrisch
und jeder gerade Koeffizient ist mit einer Null besetzt. Der Phasengang (Abbildung
2.17(b)) entspricht trotz der Approximation dem Phasengang eines idealen
Hilberttransformators. Im Gegensatz dazu zeigt der Betragsfrequenzgang in Abbildung
2.17(c) die für FIR-Filter übliche Welligkeit im Durchlassbereich. Die Interpretation
des Hilberttransformators als imaginären Anteil eines komplexen Filters mit
Realteil Eins liefert das sogenannte analytische Filter
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H(e jω ) = 1 + jHH,bb(e jω ) . (2.110)