El Conjunto de los números Reales - TEC-Digital

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10 El Conjunto de los Números Reales n = −456 1000 Por lo tanto −0.456 representa a un número racional y −0.456 = −456 1000 Ejemplo 7 Determine si 4.531 representa un número racional. Solución Sea n = 4.531 Multipliquemos por 100 a ambos miembros de la igualdad 100 n = 453.1 Multipliquemos por 10 a ambos miembros de la igualdad 1000 n = 4521.1 Tomemos 1000 n = 4521.1 y 100 n = 453.1 y restemos término a término 1000 n = 4531.1 −100 n = −453.1 900 n = 4078 por lo que n = 4078 900 Por lo tanto 4.531 representa un número racional y 4.531 = 4078 900 Los ejemplos (4), (5) y (6) son casos particulares del siguiente resultado: Ejercicios 2 Todo número con decimal periódica (finita o infinita) representa un número racional Determine el número racional que representa cada una de las siguientes expansiones decimales: a.) 4, 12 b.) 0, 325 c.) − 1, 62 d.) 1, 345 e.) − 2, 505
1.4 El conjunto de los números Irracionales J. Rodríguez S. A. Astorga M. 11 Dados los resultados anteriores tenemos que todo número que se representa por una expansión decimal periódica (finita o infinita) es un número racional, pero cabe hacerse dos preguntas: ¿Existen expansiones decimales que no sean períodicas?, y si existen, ¿qué números representan? Para contestar la primera pregunta consideremos las siguientes expansiones decimales: a.) 0.20 200 2000 20000 200000 2... b.) 5.7822 3222 42222 5222222 6... Observe que en las dos expansiones decimales anteriores, éstas no son periódicas y por los resultados anteriores estas expansiones no representan números racionales. Las expansiones decimales (a) y (b) anteriores reciben el nombre de expansiones decimales infinitas no periódicas. Para contestar la segunda pregunta tenemos: Definición 7 Los números que se pueden representar por expansiones decimales infinitas no períodicas reciben el nombre de números irracionales. El conjunto cuyos elementos son los números irracionales, recibe el nombre de conjunto de los números irracionales y se denota con el símbolo I. Observación: Por la definición de número racional y la de número irracional se tiene que no existen números que sean racionales e irracionales a la vez, simbólicamente esto se indica de la siguiente manera: Q ∩ I = Ø 1.5 El conjunto de los números Reales Definición 8 La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales, recibe el nombre de conjunto de los números reales y se denota con el símbolo R, simbólicamente escribimos: R = Q ∪ I
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Page 19 and 20: Ejemplo 11 a.) | 3 |= 3 − 0 = 3 e
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Page 59 and 60: .) 2 · 11 9 c.) −6 4 d.) −2 3
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a.) −3 5 b.) −5 4 c.) 3 ÷ 7 6
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c.) Así: −13 4 6 −13 4 6 = = =
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d.) −8 5 Por lo tanto −8 5 3 3
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1 − 8 −3 · 3 4 − 3 2 2
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a.) b.) 1 1 + 4 3 8 2 5 2 5 − 3 6
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.) −3 · 2 − 3 2 3 − 2 ÷ 1
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Definición 28 Sea a ∈ R , n ∈
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Ejemplo 73 a.) 3 −2 = 1 3 2 b.) (
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a.) b.) 3 5 4 4 −9 7 = = = = =
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Si a ∈ R, n ∈ N, n par y a n
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−3−2 1 + 4 2 3 = −1 49 d.)
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1.) (34 ) 3 · (3 2 ) 4 (−3) 15
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c.) 2 −4 · 3 −1 10 −3 · 3
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a.) En 7√ 29, 7 es el índice del
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Ejercicios 52 J. Rodríguez S. A. A
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a.) b.) 4 (−3) 4 4 = | − 3| =
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225 3 75 3 25 5 5 5 1 Ejemplo 86 J.
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Ejercicios 57 J. Rodríguez S. A. A
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J. Rodríguez S. A. Astorga M. 97 S
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es decir: √ 45 + √ 80 = 7 √ 5
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1 1 · 2 = 3 3 · 2 ; de aquí que
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i.) ii.) iii.) √ 3 = 2·15 √ 3
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