El Conjunto de los números Reales - TEC-Digital

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18 El Conjunto de los Números Reales a.) 3 ≥ −2 es verdadera pues 3 > −2 b.) −2 ≥ 0 es falsa pues no se cumple que −2 > 0 ni −2 = 0 c.) 6 ≥ 6 es verdadera pues 6 = 6 Valor absoluto en el conjunto de los números reales Definición 13 Sean a ∈ R, b ∈ R y supongamos que a ≤ b ; se llama distancia entre a y b, al número no negativo b − a. Notemos que la distancia entre dos números reales diferentes entre sí es un número positivo, pues el menor se resta del mayor. Véanse los siguientes ejemplos: 1.) La distancia entre 1 y 4 es 3, pues 4 − 1 = 3 2.) La distancia entre 2 y −3 es 5, pues 2 − (−3) = 5 3.) La distancia entre −7 y −3 es 4, pues −3 − (−7) = 4 Ejercicios 3 Para cada uno de los casos siguientes determine la distancia entre los números a y b si: 1.) a = 2; b = 9 2.) a = −3; b = 5 3.) a = 0; b = 6 4.) a = 2; b = −7 5.) a = −1; b = −9 6.) a = −4; b = 0 Supongamos que se desea calcular la distancia entre 0 y un número real x cualquiera. A esta distancia la denotaremos por | x | y se llama valor absoluto de x. Así: | x | indica la distancia entre x y 0
Ejemplo 11 a.) | 3 |= 3 − 0 = 3 es decir | 3 |= 3 b.) | 0 |= 0 − 0 = 0 es decir | 0 |= 0 c.) | −5 |= 0 − (−5) = 5 es decir | −5 |= 5 d.) | 5 |= 5 − 0 = 5 es decir | 5 |= 5 En general, sea x ∈ R 1.) Si x > 0; tenemos | x |= x − 0 = x, es decir si x > 0 entonces | x |= x 2.) Si x < 0; tenemos | x |= 0 − x = −x, es decir si x < 0 entonces | x |= −x 3.) Si x = 0; tenemos | x |= 0 − 0 = 0, es decir | 0 |= 0 Así tenemos la siguiente definición Definición 14 J. Rodríguez S. A. Astorga M. 19 Para cada número real x, definimos su valor absoluto, y lo representamos por | x | de la manera siguiente: a.) | x |= x si x ≥ 0 ó b.) | x |= −x si x < 0 Ejercicios 4 Usando la definición de valor absoluto, calcule: a.) | 11 | b.) | 21 | c.) | −13 | d.) | −109 | e.) | 0 | f.) | −115 |
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Page 57 and 58: Nota J. Rodríguez S. A. Astorga M.
Page 59 and 60: .) 2 · 11 9 c.) −6 4 d.) −2 3
Page 61 and 62: a.) −3 5 b.) −5 4 c.) 3 ÷ 7 6
Page 63 and 64: c.) Así: −13 4 6 −13 4 6 = = =
Page 65 and 66: d.) −8 5 Por lo tanto −8 5 3 3
Page 67 and 68: 1 − 8 −3 · 3 4 − 3 2 2
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a.) b.) 1 1 + 4 3 8 2 5 2 5 − 3 6
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.) −3 · 2 − 3 2 3 − 2 ÷ 1
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Definición 28 Sea a ∈ R , n ∈
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Ejemplo 73 a.) 3 −2 = 1 3 2 b.) (
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a.) b.) 3 5 4 4 −9 7 = = = = =
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Si a ∈ R, n ∈ N, n par y a n
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−3−2 1 + 4 2 3 = −1 49 d.)
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1.) (34 ) 3 · (3 2 ) 4 (−3) 15
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c.) 2 −4 · 3 −1 10 −3 · 3
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a.) En 7√ 29, 7 es el índice del
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Ejercicios 52 J. Rodríguez S. A. A
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a.) b.) 4 (−3) 4 4 = | − 3| =
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225 3 75 3 25 5 5 5 1 Ejemplo 86 J.
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Ejercicios 57 J. Rodríguez S. A. A
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J. Rodríguez S. A. Astorga M. 97 S
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es decir: √ 45 + √ 80 = 7 √ 5
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1 1 · 2 = 3 3 · 2 ; de aquí que
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i.) ii.) iii.) √ 3 = 2·15 √ 3
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