El Conjunto de los números Reales - TEC-Digital

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4 El Conjunto de los Números Reales 1.1 El conjunto de los números Naturales Definición 1 El conjunto cuyos elementos son 0, 1, 2, 3, 4, ... recibe el nombre de conjunto de los números naturales y se denota con el símbolo N, así: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Nótese que este conjunto tiene un primer elemento, a saber, el cero, pero no existe un último elemento. Por esta razón diremos que el conjunto de los números naturales es infinito. 1.2 El conjunto de los números Enteros Definición 2 El conjunto cuyos elementos son ..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ... recibe el nombre de conjunto de los números enteros y se denota con el símbolo Z, así: Nótese que: Z = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 1.) El conjunto de los números enteros no tiene un primer elemento ni un último elemento, por lo que decimos que es infinito. 2.) Los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, ... pertenecen al conjunto de los números enteros, de donde se tiene que el conjunto de los números naturales es subconjunto del conjunto de los números enteros, lo que se expresa simbólicamente así: N ⊂ Z 1.3 El conjunto de los números Racionales y el conjunto de los números Irracionales Notación: Sean a ∈ Z y b ∈ Z tal que b = 0. La expresión a ÷ b denota el resultado de dividir a por b lo cual también se escribe a b, La expresión a b se lee “a sobre b” a ÷ b = a b es decir: Observación importante: La división por cero no está definida, es decir, la frase “a dividido por cero” no tiene sentido matemático en este contexto.
Definición 3 J. Rodríguez S. A. Astorga M. 5 El conjunto cuyos elementos son los números que se pueden presentar como a , con a ∈ Z, b ∈ Z y b = 0 recibe b el nombre de conjunto de los números racionales y se denota con el símbolo Q, así: Q = a b / a ∈ Z, b ∈ Z y b = 0 Observación: Recuerde que a significa “a dividido por b” y como la división por cero no está definida, la frase b “a dividido por cero” no tiene sentido matemático en este contexto. Por esto es que en la definición anterior se pide que b = 0. 3 5 Ejemplo 1 −1 0 , , 2 4 , 12 −10 Definición 4 , −9 −2 3 5 , , y 1 −1 Sean a ∈ Z, b ∈ Z y b = 0. representan números racionales. En la expresión a , “a” recibe el nombre de numerador y “b” recibe el nombre de denominador. Y la ex- b presión a recibe el nombre de fracción. b Consideremos los siguientes ejemplos ilustrativos: 1.) Como 3 ÷ 1 = 3 entonces 3 = 3 1 2.) Como −6 ÷ 1 = −6 entonces −6 1 3.) Como −50 ÷ 1 = −50 entonces −50 1 = −6 = −50 4.) Sea a ∈ Z. Como a ÷ 1 = a entonces a = a 1 Los ejemplos (1), (2), (3) son casos particulares del ejemplo (4), esto nos permite enunciar el siguiente resultado. Todo número entero es un número racional, es decir el conjunto de los números enteros es subconjunto del conjunto de los números racionales y escribimos:
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El mínimo denominador común de 7
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Nota J. Rodríguez S. A. Astorga M.
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.) 2 · 11 9 c.) −6 4 d.) −2 3
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a.) −3 5 b.) −5 4 c.) 3 ÷ 7 6
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c.) Así: −13 4 6 −13 4 6 = = =
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d.) −8 5 Por lo tanto −8 5 3 3
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1 − 8 −3 · 3 4 − 3 2 2
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a.) b.) 1 1 + 4 3 8 2 5 2 5 − 3 6
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.) −3 · 2 − 3 2 3 − 2 ÷ 1
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Definición 28 Sea a ∈ R , n ∈
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Ejemplo 73 a.) 3 −2 = 1 3 2 b.) (
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a.) b.) 3 5 4 4 −9 7 = = = = =
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Si a ∈ R, n ∈ N, n par y a n
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−3−2 1 + 4 2 3 = −1 49 d.)
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1.) (34 ) 3 · (3 2 ) 4 (−3) 15
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c.) 2 −4 · 3 −1 10 −3 · 3
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a.) En 7√ 29, 7 es el índice del
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Ejercicios 52 J. Rodríguez S. A. A
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a.) b.) 4 (−3) 4 4 = | − 3| =
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225 3 75 3 25 5 5 5 1 Ejemplo 86 J.
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Ejercicios 57 J. Rodríguez S. A. A
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J. Rodríguez S. A. Astorga M. 97 S
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es decir: √ 45 + √ 80 = 7 √ 5
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1 1 · 2 = 3 3 · 2 ; de aquí que
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i.) ii.) iii.) √ 3 = 2·15 √ 3
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